Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của P = $\frac{a}{3a + 1} + \frac{b}{3b + 1} + \frac{c}{3c + 1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
hqquan21

hqquan21

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:  

 P = $\frac{a}{3a + 1} + \frac{b}{3b + 1} + \frac{c}{3c + 1}$

P/s: Có bạn/ anh/ chị nào ghé top nếu có thể thì chia sẻ chút kinh nghiệm cho tớ/ em là những bài BĐT và cực trị( nhất là chứa biến ở mẫu) tương tự như bài này ko ạ, hoặc rộng hơn là kinh nghiệm phân tích mấy bài toàn BĐT và cực trị cũng được(cái này chắc phải gửi tệp hoặc linh )  :icon6:  :icon6:  :icon6: ngày mai tớ/ em thi chuyển lớp lên lớp 11 rồi mà sợ nhất là mấy dạng toán về BĐT  ~O)  :(


Quân A2-K50 THPT Hương Khê


#2
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:  

 P = $\frac{a}{3a + 1} + \frac{b}{3b + 1} + \frac{c}{3c + 1}$

P/s: Có bạn/ anh/ chị nào ghé top nếu có thể thì chia sẻ chút kinh nghiệm cho tớ/ em là những bài BĐT và cực trị( nhất là chứa biến ở mẫu) tương tự như bài này ko ạ, hoặc rộng hơn là kinh nghiệm phân tích mấy bài toàn BĐT và cực trị cũng được(cái này chắc phải gửi tệp hoặc linh )  :icon6:  :icon6:  :icon6: ngày mai tớ/ em thi chuyển lớp lên lớp 11 rồi mà sợ nhất là mấy dạng toán về BĐT  ~O)  :(

đặt $3a=x^2,3b=y^2,3c=z^2$

Ta có $x^2+y^2+z^2=3$. Theo BĐT Bunhia cốp-xki,ta có $x+y+z\leq \sqrt{(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)}= 3$

BĐT mới có dạng $\frac{x^2}{3(x^2+1)}+\frac{y^2}{3(y^2+1)}+\frac{z^2}{3(z^2+1)}\leq \sum \frac{x^2}{6x}=\sum \frac{x}{6}\leq \frac{1}{2}$



#3
Hue Ham

Hue Ham

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

$3P=3-(\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1})$

Đặt A=$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}$

$A=\frac{1}{3a+1}+\frac{3a+1}{4}+\frac{1}{3b+1}+\frac{3b+1}{4}+\frac{1}{3c+1}+\frac{3c+1}{4}-\frac{3}{2}$

$A\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

=>$3P\leq 3-\frac{3}{2} <=> P\leq \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra ...


Toán học mới là sự tồn tại đơn giản nhất, cơ bản nhất, sinh ra các môn khoa học phức tạp khác!


#4
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
P = $\frac{a}{3a + 1} + \frac{b}{3b + 1} + \frac{c}{3c + 1}$
P/s: Có bạn/ anh/ chị nào ghé top nếu có thể thì chia sẻ chút kinh nghiệm cho tớ/ em là những bài BĐT và cực trị( nhất là chứa biến ở mẫu) tương tự như bài này ko ạ, hoặc rộng hơn là kinh nghiệm phân tích mấy bài toàn BĐT và cực trị cũng được(cái này chắc phải gửi tệp hoặc linh ) :icon6: :icon6: :icon6: ngày mai tớ/ em thi chuyển lớp lên lớp 11 rồi mà sợ nhất là mấy dạng toán về BĐT ~O) :(

$\Leftrightarrow P\leq \sum \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{3}}$ (BĐT Cauchy cho $3a+1,..$)
Lại có:$(\sum \sqrt{a})^2\leq 3(a+b+c)=3\Rightarrow \sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3}$ (BĐT Bunchiacopxki)
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 05-08-2015 - 13:31


#5
bnprovip

bnprovip

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:  

 P = $\frac{a}{3a + 1} + \frac{b}{3b + 1} + \frac{c}{3c + 1}$

P/s: Có bạn/ anh/ chị nào ghé top nếu có thể thì chia sẻ chút kinh nghiệm cho tớ/ em là những bài BĐT và cực trị( nhất là chứa biến ở mẫu) tương tự như bài này ko ạ, hoặc rộng hơn là kinh nghiệm phân tích mấy bài toàn BĐT và cực trị cũng được(cái này chắc phải gửi tệp hoặc linh )  :icon6:  :icon6:  :icon6: ngày mai tớ/ em thi chuyển lớp lên lớp 11 rồi mà sợ nhất là mấy dạng toán về BĐT  ~O)  :(

https://www.youtube....dhi23tEsdWBTU9a

tham khảo 



#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Lời giải. Ta có:  

$\frac{a}{3a+1}-\frac{3a+1}{12}=\frac{-(3a-1)^2}{12(3a+1)}\leqslant 0\Rightarrow \frac{a}{3a+1}\leqslant \frac{3a+1}{12}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: 

$\frac{a}{3a + 1} + \frac{b}{3b + 1} + \frac{c}{3c + 1}\leqslant \frac{3(a+b+c)+3}{12}=\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh