Chủ đề này có 4 trả lời

[khanghaxuan]

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$

 

P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$

 

P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .

Câu này trên THTT số 454, anh Hoàng Tùng có đăng một lần rồi mà:http://diendantoanho...52sum-fracaab/ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 06-08-2015 - 09:38

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$

 

P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .

BĐT tương đương

 $\sum (\frac{a}{a+b})^2+\frac{5}{2}\sum \frac{b}{a+b}\geqslant \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum (\frac{a}{a+b})^2+5\sum \frac{b}{a+b}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+5ab+5b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2(a+b)^2+ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 3$

Đặt $\frac{a}{b},..=x,..\Rightarrow xyz=1$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{x+3}{(x+1)^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+1}+\sum \frac{2}{(x+1)^2}\geqslant 3$

Giả sử $xy \geqslant 1,z \leqslant 1$

$\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Lại có $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{xy+1}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+xy}+\frac{z+3}{(z+1)^2}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}$

Và $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}-1+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}-2=\frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1}+\frac{1-z}{(z+1)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow z\leqslant 1$

Vậy ta có đpcm

[khanghaxuan]

Mình có cách này khá hay và ngắn gọn : 

Đặt : $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2} & & \\ \frac{b}{b+c}=\frac{1+y}{2} & & \\ \frac{c}{c+a}=\frac{1+z}{2} & & \end{matrix}\right.$

Do đó : $x,y,z\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$

Với cách đặt như trên ta có : $\sum (\frac{1+x}{2})^{2}+3\geq \frac{5}{2}\sum \frac{1+x}{2}\Leftrightarrow \sum x^{2}\geq 3\sum x$

Mặt khác ta có : $\prod (1-x)=\prod (1+x)\Leftrightarrow \sum x=-xyz\Rightarrow \begin{vmatrix} x+y+z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} xyz \end{vmatrix}$

Do đó ta cần chứng minh : $\sum x^{2}\geq 3\sum x=-3xyz$

Điều này hiển nhiên đúng nếu $xyz\geq 0$ nên ta chỉ xét TH $xyz<0$

Thật vậy : $\sum x^{2}\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq 3\begin{vmatrix} xyz \end{vmatrix}\geq -3xyz$

Vậy ta có ĐPCM

[nhatvinh2018]

BĐT tương đương

 $\sum (\frac{a}{a+b})^2+\frac{5}{2}\sum \frac{b}{a+b}\geqslant \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum (\frac{a}{a+b})^2+5\sum \frac{b}{a+b}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+5ab+5b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2(a+b)^2+ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 3$

Đặt $\frac{a}{b},..=x,..\Rightarrow xyz=1$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{x+3}{(x+1)^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+1}+\sum \frac{2}{(x+1)^2}\geqslant 3$

Giả sử $xy \geqslant 1,z \leqslant 1$

$\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Lại có $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{xy+1}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+xy}+\frac{z+3}{(z+1)^2}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}$

Và $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}-1+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}-2=\frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1}+\frac{1-z}{(z+1)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow z\leqslant 1$

Vậy ta có đpcm

dấu bằng xảy ra khi a=b=c