Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng :
$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$
P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .
Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng :
$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$
P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng :
$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$
P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .
Câu này trên THTT số 454, anh Hoàng Tùng có đăng một lần rồi mà:http://diendantoanho...52sum-fracaab/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 06-08-2015 - 09:38
Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng :
$\sum (\frac{a}{a+b})^{2}+3\geq \frac{5}{2}(\sum \frac{a}{a+b})$
P/s : Đây là bài bất trên THTT số ..... . Thấy hay và nhiều ứng dụng nên post lên .
BĐT tương đương
$\sum (\frac{a}{a+b})^2+\frac{5}{2}\sum \frac{b}{a+b}\geqslant \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum (\frac{a}{a+b})^2+5\sum \frac{b}{a+b}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+5ab+5b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2(a+b)^2+ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 3$
Đặt $\frac{a}{b},..=x,..\Rightarrow xyz=1$
Ta cần chứng minh $\sum \frac{x+3}{(x+1)^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+1}+\sum \frac{2}{(x+1)^2}\geqslant 3$
Giả sử $xy \geqslant 1,z \leqslant 1$
$\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
Lại có $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{xy+1}$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+xy}+\frac{z+3}{(z+1)^2}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}$
Và $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}-1+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}-2=\frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1}+\frac{1-z}{(z+1)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow z\leqslant 1$
Vậy ta có đpcm
Mình có cách này khá hay và ngắn gọn :
Đặt : $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2} & & \\ \frac{b}{b+c}=\frac{1+y}{2} & & \\ \frac{c}{c+a}=\frac{1+z}{2} & & \end{matrix}\right.$
Do đó : $x,y,z\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$
Với cách đặt như trên ta có : $\sum (\frac{1+x}{2})^{2}+3\geq \frac{5}{2}\sum \frac{1+x}{2}\Leftrightarrow \sum x^{2}\geq 3\sum x$
Mặt khác ta có : $\prod (1-x)=\prod (1+x)\Leftrightarrow \sum x=-xyz\Rightarrow \begin{vmatrix} x+y+z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} xyz \end{vmatrix}$
Do đó ta cần chứng minh : $\sum x^{2}\geq 3\sum x=-3xyz$
Điều này hiển nhiên đúng nếu $xyz\geq 0$ nên ta chỉ xét TH $xyz<0$
Thật vậy : $\sum x^{2}\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq 3\begin{vmatrix} xyz \end{vmatrix}\geq -3xyz$
Vậy ta có ĐPCM
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -BĐT tương đương
$\sum (\frac{a}{a+b})^2+\frac{5}{2}\sum \frac{b}{a+b}\geqslant \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sum (\frac{a}{a+b})^2+5\sum \frac{b}{a+b}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^2+5ab+5b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2(a+b)^2+ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab+3b^2}{(a+b)^2}\geqslant 3$
Đặt $\frac{a}{b},..=x,..\Rightarrow xyz=1$
Ta cần chứng minh $\sum \frac{x+3}{(x+1)^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+1}+\sum \frac{2}{(x+1)^2}\geqslant 3$
Giả sử $xy \geqslant 1,z \leqslant 1$
$\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
Lại có $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{xy+1}$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+xy}+\frac{z+3}{(z+1)^2}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}$
Và $\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}-1+\frac{2z^2+3z+3}{(z+1)^2}-2=\frac{\sqrt{z}-1}{\sqrt{z}+1}+\frac{1-z}{(z+1)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow z\leqslant 1$
Vậy ta có đpcm
dấu bằng xảy ra khi a=b=c
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh