Chủ đề này có 9 trả lời

[To Uyen]

Tui đang có bài tập này mà không làm được :
Cho M là một R_môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một mô đun con cực đại trong M. Điều này còn đúng không khi ta bỏ đi giả thiết hữu hạn sinh của M? Nếu không đúng hãy cho ví dụ?
Mà tui cũng không biết khái niệm mô đun con cực đại trong M là như thế nào?
Mong các bạn giúp đỡ tui với !

[vinhspiderman]

Module cực đại của một module M được định nghĩa là một module con thực sự của M, giả sử là I, sao cho với mọi module con J của M, nếu J chứa I thì hoặc I = J hoặc M = J.

Nếu là vành thì chứng minh rất đơn giản, chỉ việc sử dụng bổ đề Zorn. Sở dĩ đối với module không làm như vành được vì trong vành có phần tử đặc biệt là 1.

Với module tổng quát, điều trên là không đúng.

Giả sử M là module hữu hạn sinh trên R, khi đó M đẳng cấu với một module thương R^n/I nào đó. Lưu ý là có tương ứng 1-1 giữa tập các ideal con của R^n/I với tập các ideal con của R^n có chứa I. Từ lưu ý đó, chỉ cần chứng minh bài toán với R^n.
Ta thấy một module con của R^n bằng R^n khi và chỉ khi nó chứa tất cả các phần tử (1,0,...,0), (0,1,0,...,0) .... (0,...,0,1). Nhờ vào nhận xét này ta có thể sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh tương tự như chứng minh cho vành.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 28-04-2006 - 14:32

[muatinhyeu_201087]

BAN à. Mình cũng đang quan tâm cac bài tập về mô đun


BẠN có thể trình bày lời giải cụ thể để mình tham khảo được khong

CÁm ơn ban nhiều.

[To Uyen]

Đối với mô đun con bất kì thì tui tìm được phản chứng là không đúng rồi. Nhưng đối với mô đun hữu hạn sinh thì tui lại chưa chứng minh được.


Mong vinhspiderman giải trình rõ lời giải hơn được không?

[kakalot]

Không hiểu modul cực đại của bạn hiểu theo nghĩa nào nhĩ . Nếu hiểu theo nghĩa đó là modul cực đại chứa M thì minh có cách giải quýêt thế này:
goi M là tập sinh hưữ hạn của R,
Ta xét tập các modul con của R chứa M, tập này khác trống (vì R thuộc tập này). Cuối cùng ta đặt K=hợp của tất cả các modul đó thì ta được modul cực đại của R chứa M.

[vinhspiderman]

kakalot bị nhầm kí hiệu rồi! Sao lại viêt module cực đại chứa M???
Bài toán là chứng minh tồn tại một module con cực đại của M cơ mà! (Lưu ý module này phải là con thực sự của M)

Mình bận lắm, không có thời gian viết chi tiết mọi thứ ra đâu. Mình sẽ viết "chi tiết hơn", các bạn cố gắng một tí xíu thì làm được ngay.
Chứng minh :

1) Trường hợp M=R^n là một module tự do trên R.
Ta xét họ F tất cả các module con thực sự (tức là khác M) của M. Ta trang bị cho họ F quan hệ thứ tự là quan hệ bao hàm thông thường. Ta chứng minh họ này thỏa điều kiện của bổ đề Zorn.
Giả sử D là một họ con sắp thứ tự toàn phần của F, hãy xét
I là hợp của tất cả các module con J trong D.
Do D sắp thứ tự toàn phần nên suy ra ngay I cũng là một module con của M. Bây giờ quan trọng nhất là kiểm tra I khác M. Giả sử I=M, khi đó theo nhận xét mà mình nói, I phải chứa tất cả các phần tử
(1,0,...,0),...,(0,...,0,1). Vì chỉ có hữu hạn phần tử này (chính xác là n phần tử) nên có thể tìm ra một module con J của D chứa tất cả phần tử này. Suy ra J=M, mâu thuẫn!
Vậy theo bổ đề Zorn, ta suy ra họ F tồn tại ít nhất một phần tử cực đại I nào đó. Dễ thấy đây là module cực đại của M.

2) Trường hợp tổng quát:
Trường hợp này dựa trên nhận xét quan trọng về song ánh giữa tập tất cả các ideal con của R^n/I và tập tất cả các module con của R^n chứa I. Bạn có thể chứng minh nhận xét này trực tiếp, không khó lắm.

Ta còn có nhận xét là trong chứng minh ở trường hợp 1, nếu thêm một điều kiện nữa cho họ F là mọi ideal trong F đều phải chứa một ideal I nào đó của M thì suy ra tồn tại một module cực đại J của M chứa I.

Ta luôn có M đẳng cấu với một module thương R^n/I. Giả sử J là một module cực đại của R^n chứa I, khi đó ta sẽ chứng minh J/I là một module cực đại của R^/n/I.
Thật vậy nếu có một module K lớn hơn J/I thì K phải có dạng J'/I với J' là một module con của R^n chứa I. Suy ra J' chứa J. Vì K lớn hơn J/I nên J' khác J, do đó J'=R^n. Suy ra K=R^n/I.
Tương tự, ta kiểm tra được J/I là module con thực sự của R^n/I.
Chứng minh kết thúc.


Chú ý quan trọng : Giả sử M là module trên R, I và J là các module con của M sao cho J chứa I. Khi đó J/I không phải là một module thương mà chỉ là kí hiệu để chỉ tập
J/I={a+I|a in J}. Bạn có thể kiểm tra rằng khi đó J/I là một module con của M/I.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinhspiderman: 29-04-2006 - 17:23

[kakalot]

cám ơn vinhspiderman, mình bị nhầm rùi !
Mình xin nêu ra môt chứng minh như thế này :
"Giả sử M là một R-modul hữu hạn sinh thì mọi modul con thực sự của M đều chứa trong một modul cực đại nào đó. Nói riêng M có modul cực đại."
Ta CM kết quả trên
Gọi K là modul con thực sự của M . Khi đó tồn tại hữu hạn dãy : x1,...xn thuộc M sao cho : M=K+(x1)R+...+(xn)R. (1)
Gọi n là chiều dài ngắn nhất trong các biểu diễn thõa điều kiện (1) trên (số n luôn tồn tại do tính sắp tốt của tập N ). Khi đó :
L=K+(x2)R+...+(xn)R. (1) là một modul con thực sự của M chúa K.
Đặt P là tất cả các modul con thực sự của M chứa L khi đó P khác rỗng (do L thuộc P).
Đặt V=hội của tất cả các phần tủ trong P . Khi đó V là modul con của M ! rõ ràng x1 không thuộc vào bất cứ một phần tử nào trong P nên x1 không thuộc V. Áp dụng bổ đề Zorn tồn tại modul con N cực đại của M do N không chứa x1.
suy ra K chứa trong môdul N.
-Nếu K=0 thì M áp dụng chứng minh trên tồn tại trong M modul cục đại.

[vinhspiderman]

Chứng minh này tốt lắm! Có một chỗ cần sửa lại một tí: ở dòng đầu tiên : "tồn tại dãy hữu hạn x1,..." chứ không phải là "tồn tại hữu hạn dãy x1,...".

Chứng minh này tốt hơn vì nó gọn hơn. Thank kakalot.

[To Uyen]

Bài của kakalot làm gọn hơn nhiều nhưng Tui nghĩ là ko cần phaỉ xét với môddun con thật sự K của M. Đúng không?

[kakalot]

Bài toán của To Uyen chỉ là một trường hợp đặc biệt Khi K=0 thui mà !