Chủ đề này có 4 trả lời

[I Love MC]

Cho $a,b,c>0$ . C/m $\sum \frac{1}{a(1+b)} \ge \frac{3}{1+abc}$ 

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$ . C/m $\sum \frac{1}{a(1+b)} \geq \frac{3}{1+abc}$

BĐT tương đương: $\sum (\frac{1}{a(1+b)}-\frac{1}{1+abc})\geq 0$

$<=>\sum \frac{a(bc-1)-(ab-1)}{a(b+1)(abc+1)}=\sum \frac{ab-1}{abc+1}(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a(b+1)})$

$=\sum \frac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)}\geq 0$

[phamquanglam]

Cho $a,b,c>0$ . C/m $\sum \frac{1}{a(1+b)} \ge \frac{3}{1+abc}$ 

Chuẩn tắc $abc=1$ ta phải chứng minh: $\sum \frac{c}{ac+abc}\geq \frac{3}{2}$

đặt: $(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})=(a;b;c)$

Từ đó ta phải chứng minh: $\sum \frac{xy}{yz+zx}\geq \frac{3}{2}$

Đây là nesbit nên luôn đúng.

suy ra điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 06-08-2015 - 15:51

[phamngochung9a]

Chuẩn tắc $abc=1$ ta phải chứng minh: $\sum \frac{1}{a+ab}\geq \frac{3}{2}$

đặt: $(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})=(a;b;c)$

Từ đó ta phải chứng minh: $\sum \frac{xy}{yz+zx}\geq \frac{3}{2}$

Đây là nesbit nên luôn đúng.

suy ra điều phải chứng minh

Đây không phải là BĐT đồng bậc ( vì VT bậc (-2), VP bậc (-3) nên không thể chuẩn hóa )

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 06-08-2015 - 15:36

[KietLW9]

Cho $a,b,c>0$ . C/m $\sum \frac{1}{a(1+b)} \ge \frac{3}{1+abc}$ 

Xét: $k^3+1-k(k+1)=(k-1)^2(k+1)\geqslant 0\Rightarrow k(k+1)\leqslant k^3+1$  (với $k > 0$)

Đặt $(a,b,c)\rightarrow (\frac{kx}{y},\frac{ky}{z},\frac{kz}{x})$ ($k,x,y,z>0$) thì ta cần chứng minh: $\frac{yz}{kzx+k^2xy}+\frac{zx}{kxy+k^2yz}+\frac{xy}{kyz+k^2zx}\geqslant \frac{3}{1+k^3}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\sum_{cyc}\frac{yz}{kzx+k^2xy}=\sum_{cyc}\frac{y^2z^2}{kxyz^2+k^2xy^2z}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{kxyz(x+y+z)+k^2xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{k.\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}+k^2.\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}}=\frac{3}{k(k+1)}\geqslant \frac{3}{1+k^3}(Q.E.D)$