Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c không âm: $5(a^3+b^3+c^3)+12abc=27.$ CMR: $a+b+c\leq 3$

- - - - - hay

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho a,b,c không âm: $5(a^3+b^3+c^3)+12abc=27.$

CMR: $a+b+c\leq 3$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#2
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Cho a,b,c không âm: $5(a^3+b^3+c^3)+12abc=27.$

CMR: $a+b+c\leq 3$

Bài này giả sử $a+b+c= 3$ sau đó chứng minh $5\sum a^{3}+12abc\geq 27$

Đặt:$a+b+c=p=3$; $ab+bc+ca=q$ và $abc=r$ thì từ Schur: $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0$ $\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$

Ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3}=p^{3}-3pq+3r=3^{3}-9q+3r$

Nên bất đẳng thức được viết lại là: $5\sum a^{3}+12abc-27\geq 5.3^{3}-45q+27r-27\geq 0\Leftrightarrow 27r-45q+108\geq 0$

Từ $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$

Nên: $27.\frac{4q-9}{3}-45q+108\geq 0\Leftrightarrow q\leq 3$ (luôn đúng)

Vậy Bất đẳng thức đã được chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 06-08-2015 - 16:36

:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#3
congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết

Bài này giả sử $a+b+c= 3$ sau đó chứng minh $5\sum a^{3}+12abc\geq 27$

Đặt:$a+b+c=p=3$; $ab+bc+ca=q$ và $abc=r$ thì từ Schur: $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0$ $\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$

Ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3}=p^{3}-3pq+3r=3^{3}-9q+3r$

Nên bất đẳng thức được viết lại là: $5\sum a^{3}+12abc-27\geq 5.3^{3}-45q+27r-27\geq 0\Leftrightarrow 27r-45q+108\geq 0$

Từ $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$

Nên: $27.\frac{4q-9}{3}-45q+108\geq 0\Leftrightarrow q\leq 3$ (luôn đúng)

Vậy Bất đẳng thức đã được chứng minh

Lạ nhỉ,cho q=3 rồi từ đó cm q<=3.Thật vô lí



#4
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho a,b,c không âm: $5(a^3+b^3+c^3)+12abc=27.$

CMR: $a+b+c\leq 3$

 Ta cần chứng minh $(a+b+c)^3\leq 27=5(a^3+b^3+c^3)+12abc\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+6abc\geq 3\sum ab(a+b)$

 BĐT trên được chứng minh bằng cách sử dụng 2 BĐT sau :

   $2\sum a^3+6abc\geq 2\sum ab(a+b)$ ( Schur )

 và $2\sum a^3\geq \sum ab(a+b)$ ( AM-GM )



#5
congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết

Ta có $5(\sum a^{3})+27abc=27\Leftrightarrow 5p^{3}+27r=15pq+27(a+b+c=p;abc=r;ab+ac+bc=q)$

lại có:$r\geq \frac{4pq-p^{3}}{9}\Rightarrow 15pq+27\leq \frac{15(9r+p^{3})}{4}+27 \Rightarrow \frac{5}{4}p^{3}\leq \frac{27}{4}r+27\leq \frac{p^{3}}{4}+27$



#6
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Lạ nhỉ,cho q=3 rồi từ đó cm q<=3.Thật vô lí

Cho $p=3$ em à.............ko phải $q$ 

$q\leq \frac{1}{3}p^{2}=3$ thì vô lý gì hả?

:angry:  :angry:  :angry:  :angry:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 06-08-2015 - 16:47

:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#7
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

 Ta cần chứng minh $(a+b+c)^3\leq 27=5(a^3+b^3+c^3)+12abc\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+6abc\geq 3\sum ab(a+b)$

 BĐT trên được chứng minh bằng cách sử dụng 2 BĐT sau :

   $2\sum a^3+6abc\geq 2\sum ab(a+b)$ ( Schur )

 và $2\sum a^3\geq \sum ab(a+b)$ ( AM-GM )

làm vầy là chuẩn đó


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#8
congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết

Cho $p=3$ em à.............ko phải $q$ 

$q\leq \frac{1}{3}p^{2}=3$ thì vô lý gì hả?

:angry:  :angry:  :angry:  :angry:

cần chứng minh p<=3 chứ có phải chứng minh q<=3 đâu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdan9aqxk: 06-08-2015 - 20:31


#9
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

cần chứng minh p<=3 chứ có phải chứng minh q<=3 đâu

chuẩn luôn


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#10
Changg Changg

Changg Changg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Lạ nhỉ,cho q=3 rồi từ đó cm q<=3.Thật vô lí

 

cần chứng minh p<=3 chứ có phải chứng minh q<=3 đâu

 

chuẩn luôn

 

Mấy bạn coi lại nhá, chị trên giải bằng phương pháp phản chứng nên giả sử $a+b+c=3$ là hoàn toàn hợp lý.



#11
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Mấy bạn coi lại nhá, chị trên giải bằng phương pháp phản chứng nên giả sử $a+b+c=3$ là hoàn toàn hợp lý.

thực ra thì gt thế thì chết con nhà người ta làm sao đc?????


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#12
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

thực ra thì gt thế thì chết con nhà người ta làm sao đc?????

Tại sao lại phải chết. Hợp lý là đằng khác.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-08-2015 - 11:50

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#13
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết

Tại sao lại phải chết. Hợp lý là đằng khác.

Bạn có thể chỉ rõ cách làm phản chứng này được không?

Vì sao phải làm kiểu ngược như vậy


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#14
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài này giả sử $a+b+c= 3$ sau đó chứng minh $5\sum a^{3}+12abc\geq 27$

Đặt:$a+b+c=p=3$; $ab+bc+ca=q$ và $abc=r$ thì từ Schur: $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0$ $\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$

Ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3}=p^{3}-3pq+3r=3^{3}-9q+3r$

Nên bất đẳng thức được viết lại là: $5\sum a^{3}+12abc-27\geq 5.3^{3}-45q+27r-27\geq 0\Leftrightarrow 27r-45q+108\geq 0$

Từ $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}$

Nên: $27.\frac{4q-9}{3}-45q+108\geq 0\Leftrightarrow q\leq 3$ (luôn đúng)

Vậy Bất đẳng thức đã được chứng minh

 

Bạn có thể chỉ rõ cách làm phản chứng này được không?

Vì sao phải làm kiểu ngược như vậy

Nếu $a+b+c>3$, tồn tại số thực $k>1$ sao cho $\dfrac{a+b+c}{k}=3$

Áp dụng kết quả bài chị ở trên làm ta ra: $5(a^3+b^3+c^3)+12abc\geqslant 27k^3>27$ vô lý.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh