Chủ đề này có 8 trả lời

[Belphegor Varia]

 $\bullet \texttt{Geometry} :$ Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi $D,E$  là chân đường cao của $B,C$ xuống $AC,AB$. Trên $AB,AC$ lấy $U,V$ sao cho $H,U,V$ thẳng hàng, $AU=AV$. Gọi $M$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $BCDE$. Chứng minh rằng : $A,M,U,V$ đồng viên. 

 

P\s: có nhiều phương án 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 10-08-2015 - 21:32

[dogsteven]

Ta có $\widehat{MEU}=\widehat{MDV}$. Ngoài ra $MH$ đi qua trung điểm $BC$ nên $MEHD$ điều hòa.

$\Delta EHU\sim \Delta DHV$ nên $\dfrac{EU}{DV}=\dfrac{EH}{HD}=\dfrac{ME}{MD}$

Do đó $\Delta MEU\sim \Delta MDV$ nên ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-08-2015 - 08:37

[Belphegor Varia]

Ta có $\widehat{MEU}=\widehat{ADV}$. Ngoài ra $MH$ đi qua trung điểm $BC$ nên $MEHD$ điều hòa.

$\Delta EHU\sim \Delta DHV$ nên $\dfrac{EU}{DV}=\dfrac{EH}{HD}=\dfrac{ME}{MD}$

Do đó $\Delta MEU\sim \Delta MDV$ nên ta có điều phải chứng minh.

$A,C,V,D$ thẳng hàng mà 

[dogsteven]

$A,C,V,D$ thẳng hàng mà 

À em nhầm. $\widehat{MEU}=\widehat{MDV}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-08-2015 - 08:36

[nhungvienkimcuong]

$\bullet$ Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi $D,E$  là chân đường cao của $B,C$ xuống $AC,AB$. Trên $AB,AC$ lấy $U,V$ sao cho $H,U,V$ thẳng hàng, $AU=AV$. Gọi $M$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $BCDE$. Chứng minh rằng : $A,M,U,V$ đồng viên. 

 

Bổ đề:$(\text{VN TST 2006})$

Lời giải:

từ lời giải bổ đề ta có được $UV$ là phân giác ngoài $\widehat{BHC}$

gọi $AK$ là đường kính $(AUV)$

theo bổ đề ta có được $\overline{H,K,I}$ với $I$ là trung điểm $BC$

mặt khác theo tính chất quen thuộc ta có được $\left\{\begin{matrix} \overline{M,H,I}\\AM\perp MI \end{matrix}\right.$

do đó $\left\{\begin{matrix} \overline{M,H,K}\\AM\perp MK \end{matrix}\right.\Rightarrow M\in (AK)\Rightarrow M\in (AUV)$

bổ đề này từng là đề thi lớp $10$ ở Hà Nội khoảng năm $2013$ thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-08-2015 - 09:28

[Belphegor Varia]

$\bullet$ Một cách khác chứng minh $UV$ là phân giác ngoài $\angle BHC$ : 

 

Áp dụng định lý $\texttt{Menelaus}$ cho $\bigtriangleup BAD$ và $\triangle CAE$ ta được : 

 

$\frac{UA}{UB}.\frac{HB}{HD}.\frac{VD}{VA}=1$ và $\frac{VA}{VC}.\frac{HC}{HE}.\frac{UE}{UA}=1$

 

$\Rightarrow \frac{HB}{UB}.\frac{VD}{HD}=\frac{HC}{VC}.\frac{UE}{HE}=1$

 

Lại có $\frac{HB}{UB}=\frac{HC}{VC}$

Từ đó suy ra : 

         $\frac{VD}{HD}=\frac{UE}{HE}=\frac{UB}{HB}$

 

Suy ra $HU$ là phân giác $\angle EHB$ 

Hay $UV$ là phân giác ngoài $\angle BHC$ 

[Bonjour]

Cách này giống kết hợp giữa hai hướng giải trên :

Spoiler

Nhưng ý tưởng vẫn vậy thôi

  Chứng minh được $UV$ là phân giác ngoài $\widehat{BHC}$  cho nên $\frac{EU}{BU}=\frac{DV}{VC}$

Thì từ sự đồng dạng của $\Delta MEB,\Delta MDC$ ta suy ra $\Delta MEU\sim \Delta MDV$ ( do $U,V$ chia trong $BE,DC$ một tỉ số bằng nhau)

$\blacklozenge $ Ngoài ra ,ta cũng có thể chứng minh được phân giác $\widehat{DFC}$ song song với $VU$
 
 

[Belphegor Varia]

Cách này giống kết hợp giữa hai hướng giải trên :

Spoiler

Nhưng ý tưởng vẫn vậy thôi

  Chứng minh được $UV$ là phân giác ngoài $\widehat{BHC}$  cho nên $\frac{EU}{BU}=\frac{DV}{VC}$

Thì từ sự đồng dạng của $\Delta MEB,\Delta MDC$ ta suy ra $\Delta MEU\sim \Delta MDV$ ( do $U,V$ chia trong $BE,DC$ một tỉ số bằng nhau)

$\blacklozenge $ Ngoài ra ,ta cũng có thể chứng minh được phân giác $\widehat{DFC}$ song song với $VU$
 
 

     điểm $F$ ?  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 09-08-2015 - 14:57

[Bonjour]

     điểm $F$ ?  

Là giao điểm của $DE$ với $BC$