Đến nội dung

Hình ảnh

Một số thắc mắc trong lí thuyết Galois: giải được bằng căn thức.

lí thuyết galois

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Có một vài chỗ em thấy khó hiểu trong phần giải được bằng căn thức trong sách của D&F ạ:

1. Định nghĩa nhóm giải được: trong phần đầu sách thì dùng khái niệm sau. G là giải được nếu tồn tại một chuỗi các nhóm con

$$1=H_0\triangleleft H_1\triangleleft ...\triangleleft H_n=G$$

mà $H_{i+1}/H_i$ là abel nhưng đến cuối sách thì điều kiện trên lại là $H_{i+1}/H_i$ là cyclic. Em nghĩ là hai điều này tương đương vì nếu $H_{i+1}/H_i$ là abel thì tồn tại một chuỗi các nhóm con

$$H_i=S_0\triangleleft  S_1 \triangleleft ... \triangleleft S_m=H_{i+1}$$

bằng cách áp dụng định lý phân loại nhóm abel với nhóm $H_{i+1}/H_i$ và định lý đẳng cấu nhóm thứ tư.

 

2. Tính giải được bằng căn thức: đa thức f(x) giải được bằng căn thức nếu và chỉ nếu nhóm Galois của nó là giải được. Trong sách chú ý là nó đúng với trường có đặc số không chia hết cho cấp của nhóm Galois và bậc của các mở rộng căn thức đơn. Nhưng em không tìm thấy điều này trên wiki và trong một cuốn sách của M.Artin (con Emil Artin) cũng không đề cập đến đặc số của trường.

 

3. Hai bức hình ở dưới là bổ đề và chứng minh liên quan đến tính giải được bằng căn thức của đa thức: em rất khó hiểu ở chỗ tác giả giải thích cho hợp của hai mở rộng nghiệm là một mở rộng nghiệm. Theo như em hiểu ở đây là lấy hợp của $K'_1$ với $K_0,...,K_s$ rồi sau đó lấy hợp của $K'_2$ với $K_0,...,K_s$ (em không chắc "these fields" ở đây là cái nào, sau khi lấy hợp hay là vẫn lấy hợp với trường cũ, nhưng em nghĩ là theo nghĩa này). Nhưng mà như vậy thì đâu có được chuỗi các mở rộng liên tiếp nhau vì chẳng hạn em không rõ ta so sánh bao hàm thế nào $K'_1K_s$ với $K'_2K_0$. Em nghĩ là có thể lấy chuỗi sau được không:

$$K_0 \triangleleft K_1 \triangleleft ... \triangleleft K_s \triangleleft K'_1K_s \triangleleft K'_2K_s \triangleleft ... \triangleleft K'_{s'}K_s$$

thì mỗi mở rộng ở đây là mở rộng cyclic. 

File gửi kèm

  • File gửi kèm  h1.bmp   1.68MB   2 Số lần tải
  • File gửi kèm  h2.bmp   1.77MB   2 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 10-08-2015 - 11:09


#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
Mình không có cuốn D&F ở bên cạnh, nên biết sao đoán vậy
 
1. Đến đoạn sau có lẽ tác giả giới hạn lại ở finitely generated group. Cụ thể có đoạn này mình không chắc đúng
 

nếu $H_{i+1}/H_i$ là abel thì tồn tại một chuỗi các nhóm con

$$H_i=S_0\triangleleft S_1 \triangleleft ... \triangleleft S_m=H_{i+1}$$

bằng cách áp dụng định lý phân loại nhóm abel với nhóm $H_{i+1}/H_i$


thí dụ $H_i=0$, và $H_{i+1}= Z \oplus Z \oplus \dots$ (với infinite $Z$). Nhóm $H_{i+1}$ không thể có 1 chuỗi nhóm con có độ dài hữu hạn sao cho factor group là cyclic được.

2. 3. Mình không nhớ gì về mở rộng nghiệm, galois, hay phần này cả.

#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Mình không có cuốn D&F ở bên cạnh, nên biết sao đoán vậy
 
1. Đến đoạn sau có lẽ tác giả giới hạn lại ở finitely generated group. Cụ thể có đoạn này mình không chắc đúng
 

thí dụ $H_i=0$, và $H_{i+1}= Z \oplus Z \oplus \dots$ (với infinite $Z$). Nhóm $H_{i+1}$ không thể có 1 chuỗi nhóm con có độ dài hữu hạn sao cho factor group là cyclic được.

2. 3. Mình không nhớ gì về mở rộng nghiệm, galois, hay phần này cả.

Tác giả giả thiết là mở rộng tách được và hữu hạn rồi. Mình có gửi 2 trang của sách ở trên đấy.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 10-08-2015 - 20:30


#4
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Tác giả giả thiết là mở rộng tách được và hữu hạn rồi. Mình có gửi 2 trang của sách ở trên đấy.

 

À, nếu nhóm ta xem xét là finite (hay ngay cả khi finitely generated), thì mình đồng ý với bạn. Nhóm abelian có thể được filtered bằng chuỗi nhóm con sao cho factor group là cyclic, với lý do như bạn nói. Ý mình chỉ là với định nghĩa chung chung của solvable group, thì mọi abelian group đều solvable kể cả không phải finitely generated.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh