Đến nội dung

Hình ảnh

$\angle AQP+\angle NAP=90^o$

- - - - - geometry

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$\bullet \texttt{Geometry} :$ Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$. Trên $AH$ lấy điểm $M$ bất kì. Kẻ đường tròn tâm $B$ bán kính $BA$ và đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ lần lượt cắt $CM,BM$ tại $P,Q$. Đường tròn $(HPQ)$ cắt $BC$ tại điểm thứ 2 $N$. Chứng minh $\angle AQP+\angle NAP=90^o$

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 11-08-2015 - 00:04

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#2
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

$\bullet \texttt{Geometry} :$ Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$. Trên $AH$ lấy điểm $M$ bất kì. Kẻ đường tròn tâm $B$ bán kính $BA$ và đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ lần lượt cắt $CM,BM$ tại $P,Q$. Đường tròn $(HPQ)$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $\angle AQP+\angle NAP=90^o$

 

Spoiler

bài này e nghĩ quy về cm góc bằng nhau


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

bài này e nghĩ quy về cm góc bằng nhau

thử làm đi Khương. 


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#4
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

thử làm đi Khương. 

em dg nghĩ hướng thôi anh ak :luoi:  :luoi:  :luoi:


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

$\bullet \texttt{Geometry} :$ Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$. Đường cao $AH$. Trên $AH$ lấy điểm $M$ bất kì. Kẻ đường tròn tâm $B$ bán kính $BA$ và đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ lần lượt cắt $CM,BM$ tại $P,Q$. Đường tròn $(HPQ)$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $\angle AQP+\angle NAP=90^o$

 

Spoiler

Vị trí $P, Q$ thế nào so với $BM, CM$?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$P$ và $Q$ lần lượt thuộc đoạn $CM$ và $BM$ ạ 

11013403_1617189541875580_42011729688228


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 11-08-2015 - 00:12

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#7
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

hình như có th ko đúng ạ?

Hình gửi kèm

  • USSSSntitled.png


#8
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Tới đây rồi em cũng xin trình bày chút ý tưởng của mình cho bài này, ta thử biến đổi tương đương (phần biến đổi có sử dụng kết quả bài toán IMO 2012)    

 

         $\angle AQP+\angle NAP=90^o$

         $\Leftrightarrow 90^o-\angle AQP=\angle NAP=\angle QAP-\angle QAN$

         $\Leftrightarrow 180^o-2\angle AQP=2\angle QAP-2\angle QAN$

         $\Leftrightarrow (180^o-\angle QAP-\angle AQP)-\angle AQP=\angle QAP-2\angle QAN$

         $\Leftrightarrow \angle APQ-\angle AQP=\angle NAP-\angle NAQ$  $(\star )$

 

Gọi $E$ là giao của $BP$ và $CQ$ . Ta đã biết $EP=EQ$ (IMO 2012). Suy ra $\angle EQP=\angle EPQ$

Khi đó $(\star)$ $\Leftrightarrow \angle APQ-\angle NAP=\angle AQP-\angle NAQ$

           $\Leftrightarrow \angle APQ+ \angle EPQ -\angle NAP=\angle AQP+\angle EQP-\angle NAQ$

           $\Leftrightarrow \angle CAN=\angle BAN$ $\bigstar$.

 

Khi ra được đến đây em khá bất ngờ và hứng thú , ta đã biến đổi được về bài toán này http://diendantoanho...e-atcangle-bct/. Nhưng chứng minh được bài toán này không phải là dễ, (em cứ nghĩ mình đã làm ra bài đó nhưng cuối cùng bị ngộ nhận). Cả 2 bài đều có cách vẽ hình giống IMO 2012,chỉ từ 1 bài imo ta mở rộng được bài toán ứng dụng khác khó hơn rất nhiều .Nếu chứng minh được 1 bài rồi thì bài toán còn lại sẽ được chứng minh. Nhưng bài kia 2 năm rồi vẫn chưa có lời giải :( . Em chỉ đóng góp 1 số ý kiến thôi, mong là không làm rối hướng giải quyết, (cũng mong 1 cách làm độc lập cho bài này không liên quan đến bài còn lại )  

Hình gửi kèm

  • geomety bá.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 11-08-2015 - 18:46

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#9
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
 

$APNQ$ đâu có nội tiếp anh

Xin lỗi vì nhầm lẫn APNQ nội tiếp :(

Để suy nghĩ tiếp   :botay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 12-08-2015 - 23:36


#10
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

attachicon.gifVG.png

Chú ý rằng $\alpha+\gamma=\beta+\gamma=\angle AQN=$ cung có số đo $=90^o$

$APNQ$ đâu có nội tiếp anh


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#11
huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Bài toán này mình có 2 cách giải khác nhau nhưng cùng 1 hướng đi  :icon6: :

 

Đầu tiên, CP cắt (B) tại P',  BQ cắt ( C) tại Q'  ($P'\not\equiv P;Q'\not\equiv Q$)

 

(B) cắt ( C) tại điểm thứ 2 là D suy ra H là trung điểm AD

 

ta dễ có: $(CMPP')=(BMQQ')=-1$ suy ra BC, PQ, P'Q' đồng quy tại J

 

Đt qa B ssong AD cắt Q'D tại $Q_{1 }$, tương tự xác định $P_{1 }$

 

 

theo đlí Menelaus suy ra: $\frac{JB}{JC}=\frac{P'M}{P'C}.\frac{Q'B}{Q'M}=\frac{DM}{CP_{1}}.\frac{BQ_{1}}{DM}=\frac{BQ_{1}}{CP_{1}}$

 

ta sẽ chứng minh J là tâm vị tự của (B) và ( C)  (*)

 

thật vậy: $(*)\Leftrightarrow \frac{BQ_{1}}{CP_{1}}=\frac{BD}{CD}$

                    

                  $\Leftrightarrow \frac{sin\widehat{BDQ_{1}}}{sin\widehat{Q_{1}}}=\frac{sin\widehat{CDP_{1}}}{sin\widehat{P_{1}}}$

 

                 $\Leftrightarrow \frac{sin\widehat{DAQ'}}{sin\widehat{ADQ'}}=\frac{sin\widehat{DAP'}}{sin\widehat{ADP'}}$

 

                 $\Leftrightarrow \frac{DQ'}{AQ'}=\frac{DP'}{AP'}$   (Đúng)

                                                                                                (Do cùng =$\sqrt{\frac{MD}{MA}}$ )

 

suy ra (*) đúng. 

 

Có: $\overline{MP}.\overline{MP'}=\overline{MQ}.\overline{MQ'}$ suy ra P, Q, P', Q' đồng viên 

 

suy ra $\overline{JA}^{2}=\overline{JP'}.\overline{JQ'}=\overline{JP}.\overline{JQ}=\overline{JH}.\overline{JN}$

 

từ đây ta có 2 cách như sau:

 

Cách 1: (tiếp theo hướng của Belphegor Varia) :v

 

dễ có $JA\perp AN$

 

mak từ (*) ta cx có AJ là phân giác ngoài góc A của $\Delta ABC$

 

Nên AN là p/gi trong góc A của $\Delta ABC$

 

...

 

Cách 2:

 

Có: $JA\perp AN$

 

dễ có $\Delta JAQ$ đồng dạng $\Delta JPA$ suy ra $\widehat{APQ}=\widehat{JAQ}$

 

                                                                             => $\widehat{APQ}+\widehat{NAQ}=90^{\circ}$

 

                                                                             => $\widehat{AQP}+\widehat{NAP}=90^{\circ}$

 

Ta có đpcm. :icon6:

 

P/S: cần chứng minh thêm J nằm ngoài đoạn BC (đơn giản)  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 13-08-2015 - 11:38


#12
haycuoi

haycuoi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
 

Bài toán này mình có 2 cách giải khác nhau nhưng cùng 1 hướng đi   :icon6: :

 

Đầu tiên, CP cắt (B) tại P',  BQ cắt ( C) tại Q'  ($P'\not\equiv P;Q'\not\equiv Q$)

 

(B) cắt ( C) tại điểm thứ 2 là D suy ra H là trung điểm AD

 

ta dễ có: $(CMPP')=(BMQQ')=-1$ suy ra BC, PQ, P'Q' đồng quy tại J

Em không hiểu chỗ màu đỏ là kí hiệu gì ạ ? Còn từ "đồng viên" có giống đồng quy không ạ? :(



#13
huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

 

 
 

Em không hiểu chỗ màu đỏ là kí hiệu gì ạ ? Còn từ "đồng viên" có giống đồng quy không ạ? :(

 

kí hiệu hàng điểm đấy, còn 4 điểm đồng viên là 4 điểm cùng thuộc 1 đtròn.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: geometry

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh