Đến nội dung

Hình ảnh

$$A=x^4+y^4+z^4$$

bất đẳng thức đạo hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Frankesten

Frankesten

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Cho $x,y,z \in [-1;2]$ thỏa mãn $\sum x=1$

Tìm Max và Min của :

$$A=x^4+y^4+z^4$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 12-08-2015 - 06:52

Why So Serious ?


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $x,y,z \in [-1;2]$ thỏa mãn $\sum x=1$
Tìm Max và Min của :
$$A=x^4+y^4+z^4$$

Ta có:$A\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}\geq \frac{(x+y+z)^2}{27}=\frac{1}{27}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

#3
olympiachapcanhuocmo

olympiachapcanhuocmo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cho $x,y,z \in [-1;2]$ thỏa mãn $\sum x=1$

Tìm Max và Min của :

$$A=x^4+y^4+z^4$$

Hình như 2 giả thiết  không liên quan thì phải ?

 

Tớ nghĩ là  $\sum x>6$ hoặc là bỏ luôn cái đó !


                                                                                               


#4
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $x,y,z \in [-1;2]$ thỏa mãn $\sum x=1$
Tìm Max và Min của :
$$A=x^4+y^4+z^4$$

Từ giả thiết ta có:$(x-2)(y-2)(z-2)-xyz\leq 0\Leftrightarrow 4(x+y+z)\leq 2(xy+yz+zx)+8\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq 5$
Lại có:$(4-x^2)(4-y^2)(4-z^2)+xyz\geq 0\Leftrightarrow \sum 4x^2y^2-16(x^2+y^2+z^2)+64\geq 0\Leftrightarrow \sum x^2y^2\geq 4$
Ta có:$A=x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2\sum x^2y^2\leq 25-8=17$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(-1,2,0)$ và hoán vị

#5
gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết

Từ giả thiết ta có:$(x-2)(y-2)(z-2)-xyz\leq 0\Leftrightarrow 4(x+y+z)\leq 2(xy+yz+zx)+8\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq 5$
Lại có:$(4-x^2)(4-y^2)(4-z^2)+xyz\geq 0\Leftrightarrow \sum 4x^2y^2-16(x^2+y^2+z^2)+64\geq 0\Leftrightarrow \sum x^2y^2\geq 4$
Ta có:$A=x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2\sum x^2y^2\leq 25-8=17$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(-1,2,0)$ và hoán vị

Giải thích giúp phần màu đỏ đi bạn

Còn phần màu xanh là $(4-x^2)(4-y^2)(4-z^2)+x^{2}y^{2}z^{2}\geq 0$ chứ nhỉ


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#6
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Giải thích giúp phần màu đỏ đi bạn
Còn phần màu xanh là $(4-x^2)(4-y^2)(4-z^2)+x^{2}y^{2}z^{2}\geq 0$ chứ nhỉ

Do $x,y,z\leq 2$ nên mình suy ra được bđt đó

#7
gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết

Do $x,y,z\leq 2$ nên mình suy ra được bđt đó

$x,y,z\leq 2$ thì chỉ suy ra $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$ còn cái $-xyz$ thì sao


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#8
Frankesten

Frankesten

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Từ giả thiết ta có:$(x-2)(y-2)(z-2)-xyz\leq 0$

Tại sao lại có điều này vậy? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 12-08-2015 - 15:11

Why So Serious ?


#9
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

$x,y,z\leq 2$ thì chỉ suy ra $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$ còn cái $-xyz$ thì sao

Tại sao lại có điều này vậy?

Dấu "=" xảy ra khi $x=2,y=0,z=-1$

#10
gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết

Dấu "=" xảy ra khi $x=2,y=0,z=-1$

Không phải mình hỏi về dấu = mà là về cái đánh giá kìa xyz có thể âm nên khi trừ ra biết đâu nó dương


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, đạo hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh