Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn,$AB<AC$...Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn,$AB<AC$,$AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên các cạnh $AC$ và $AB$, M là giao điểm của $BE$ và $CF$
1. Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng.
2. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\frac{HB}{HC}=\frac{KB}{KC}$
3. Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh: $\frac{HB}{HC}.\frac{NB}{NC}< 1$

 



#2
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

 

Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn,$AB<AC$,$AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên các cạnh $AC$ và $AB$, M là giao điểm của $BE$ và $CF$
1. Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng.
2. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\frac{HB}{HC}=\frac{KB}{KC}$
3. Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh: $\frac{HB}{HC}.\frac{NB}{NC}< 1$

 

1) Gọi $G,I$ là giao điểm của $HF,HE$ với đường thẳng qua $A$ song song $BC$

 Vì $A,E,D,H,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ nên tứ giác $EFHD$ nội tiếp 

 Ta có: $HA$ là phân giác của $\widehat{FHE}$ và $HA$ vuông $GI$ 

$\Rightarrow \Delta HGI$ cân tại $H$ .Suy ra $AG=AI$

 Đến đây sử dụng $Thales$ và $Ceva$ để chứng minh $AH,BE,CF$ đồng qui

2) Ta có $EFBC.AK$ là tứ giác toàn phần .Nên $(KHBC)=-1$

3)Ta có $AN$ là đường đẳng giác trong góc $A$ ( đối xứng với $AH$ qua $AD$ )

$\Rightarrow \frac{HB.NB}{HC.NC}=\frac{BH}{NC}.\frac{NB}{HC}=\frac{[ABH]}{[ANC]}.\frac{[ABN]}{[AHC]}=\frac{AB.AH}{AN.AC}.\frac{AB.AN}{AH.AC}=(\frac{AB}{AC})^{2}< 1$


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#3
thuteacher

thuteacher

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

cho a, b, c là số thực dương thõa mãn: a+b+c=3. Tìm Max A . A= căn(a+b) + căn(b+c) +căn(c+a)



#4
yeudiendanlamlam

yeudiendanlamlam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

1) Gọi $G,I$ là giao điểm của $HF,HE$ với đường thẳng qua $A$ song song $BC$

 Vì $A,E,D,H,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ nên tứ giác $EFHD$ nội tiếp 

 Ta có: $HA$ là phân giác của $\widehat{FHE}$ và $HA$ vuông $GI$ 

$\Rightarrow \Delta HGI$ cân tại $H$ .Suy ra $AG=AI$

 Đến đây sử dụng $Thales$ và $Ceva$ để chứng minh $AH,BE,CF$ đồng qui

2) Ta có $EFBC.AK$ là tứ giác toàn phần .Nên $(KHBC)=-1$

3)Ta có $AN$ là đường đẳng giác trong góc $A$ ( đối xứng với $AH$ qua $AD$ )

$\Rightarrow \frac{HB.NB}{HC.NC}=\frac{BH}{NC}.\frac{NB}{HC}=\frac{[ABH]}{[ANC]}.\frac{[ABN]}{[AHC]}=\frac{AB.AH}{AN.AC}.\frac{AB.AN}{AH.AC}=(\frac{AB}{AC})^{2}< 1$

bạn giải ra cho mình chỗ này được không ,mình chưa tìm ra



#5
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

bạn giải ra cho mình chỗ này được không ,mình chưa tìm ra

Vì $GA=IA$ nên $\frac{AF}{FB}.\frac{HB}{CH}.\frac{EC}{EA}=\frac{GA}{HB}.\frac{HB}{HC}.\frac{HC}{AI}=1$


Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh