Chủ đề này có 2 trả lời

[sinh vien]

Đây là một bài toán về tính giới hạn hàm số do mình đề xuất 

Bài toán. Tính giới hạn

$lim_{x\rightarrow \infty }\left \{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}sin\frac{(2k-1)}{2n}arctan\frac{x-cos\frac{(2k-1)\pi }{2n}}{sin\frac{(2k-1)\pi }{2n}}-\frac{1}{2n}cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}ln(x^{2}-2xcos\frac{(2k-1)\pi }{2n}+1)\right \}$

Còn đây là đáp số :$\frac{\pi }{2nsin\frac{\pi }{2n}}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}sin\frac{(2k-1)\pi }{2n}arctancot\frac{(2k-1)}{2n}$.  

[namcpnh]

Đây là một bài toán về tính giới hạn hàm số do mình đề xuất 

Bài toán. Tính giới hạn

$lim_{x\rightarrow \infty }\left \{ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}sin\frac{(2k-1)}{2n}arctan\frac{x-cos\frac{(2k-1)\pi }{2n}}{sin\frac{(2k-1)\pi }{2n}}-\frac{1}{2n}cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}ln(x^{2}-2xcos\frac{(2k-1)\pi }{2n}+1)\right \}$

Còn đây là đáp số :$\frac{\pi }{2nsin\frac{\pi }{2n}}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}sin\frac{(2k-1)\pi }{2n}arctancot\frac{(2k-1)}{2n}$.  

Thât sự là một sinh viên khoa Toán, mình không thể hiểu được việc tính giới hạn này có ý nghĩa gì hay không? Có chăng chỉ là tốn chất xám và thời gian ( kiểu như câu đố chơi chữ mà bọn trẻ hay chơi). 

Về lý thuyết thì cái này sẽ không được đề lập đến.

Về thực tế thì đã có phần mềm tính được, và mọi người tính giới hạn ra đáp án với sai số $10^{-10}$. 

Nếu bạn nêu được lý do chính đáng để giải bài này thì mình sẽ để nó yên ( ngoài lý do ép mọi người phải dùng định lý này định lý nọ), còn không mình xin được phép delete.

Thân: Nam.

[nthkhnimqt]

Mod nên xóa bài này luôn là vừa, dạng bài đánh đố. Xét tích phân suy rộng sau

\[I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{1 + {x^{2n}}}}} \]

Dùng thặng dư ta tính được rằng 
\[ I = \frac{\pi }{{2n\sin \frac{\pi }{{2n}}}}\]

Mặc khác ta có 

\[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } F\left( x \right) - F\left( 0 \right)\]

Với 

\[F\left( x \right) = \int {\frac{{dx}}{{1 + {x^{2n}}}}}  =  \ldots  =  \text{cái biểu thức mà chủ thớt cần tìm giới hạn}\]

từ đó suy ra

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } F\left( x \right) = \frac{\pi }{{2n\sin \frac{\pi }{{2n}}}} + F\left( 0 \right)\]