Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

CMR đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 17-08-2015 - 21:51

Bài toán.   Chứng minh rằng đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp của tam giác.   (Định lí Feuerbach)



#2 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 18-08-2015 - 16:19

Bài toán.   Chứng minh rằng đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp .

Quy ước : $a;b;c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $R;r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp tam giác . p là nửa chu vi tam giác

Bổ đề 1 : Trong tam giác bất kì luôn có đẳng thức :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2p^{2}-2r^{2}-8Rr$

Chứng minh 

Áp dụng các công thức $r=\frac{S}{p};Rr=\frac{abc}{4p};S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Ta có : $2p^{2}-2r^{2}-8Rr=2p^{2}-2.\frac{S^{2}}{p^{2}}-2.\frac{abc}{p}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

Bổ đề 2 : Cho tam giác ABC có $G$ là trọng tâm và một điểm $M$ bất kỳ

$3MG^{2}=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}-\frac{1}{3}(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})$

Chứng minh 

Ta có : $3\vec{MG}=\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}$

$9.MG^{2}=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+2\vec{MA}.\vec{MB}+2\vec{MB}.\vec{MC}+2\vec{MC}.\vec{MA}$

$=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+(MA^{2}+MB^{2}-AB^{2})+(MB^{2}+MC^{2}-BC^{2})+(MC^{2}+MA^{2}-AC^{2})$

 

$=3(MA^{2}+MB^{2}+MC^{2})-(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})$
 

Bổ đề 3 : Trong một tam giác bất kỳ có $G$ là trọng tâm thì bình phương khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp $I$ đến $G$ luôn luôn bằng

$\frac{1}{9}(p^{2}+5r^{2}-16Rr)$

Chứng minh 

Áp dụng Bổ đề 2 khi $M$ là $I$ ta có : $3IG^{2}=IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}-\frac{1}{3}(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})$

Kẻ $IK$ vuông góc $AB$ thì $AK=p-a$ . Tam giác $AKL$ vuông ở $K$ nên 

$IA^{2}=IK^{2}+KA^{2}=(p-a)^{2}+r^{2}$

Tương tự :

$IB^{2}=(p-b)^{2}+r^{2}$

$IC^{2}=(p-c)^{2}+r^{2}$

Do đó : $3.IG^{2}=3.r^{2}-p^{2}+\frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Áp dụng Bổ đề 1 vào đẳng thức được điều phải chứng minh

 

Bài toán

Gọi $O;I;G;H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại; nội; trọng; trực của tam giác

$E$ là tâm đường tròn Euler.

Ta có : $\vec{OH}=3\vec{OG}=6\vec{GE}$

Đặt góc $OGI$ là $a$

$OI^{2}=OG^{2}+GI^{2}-2.OG.OI.cos a$

$EI^{2}=EG^{2}+GI^{2}-2.EG.OI.cos a$

$-->2EI^{2}+OI^{2}=OG^{2}+2GE^{2}+3GI^{2}$

Từ đó rút được $EI^{2}=\frac{1}{2}(OG^{2}+2GE^{2}+3GI^{2}-OI^{2})$

Áp dụng Bổ đề $3$

Áp dụng Bổ đề $1;2$ được $OG^{2}=\frac{1}{9}(9R^{2}+2r^{2}-2p^{2}+8Rr)$

 

Định lý Euler :cho ta  $OI^{2}=R^{2}-2Rr$

 

Thay cả ba vào ta được

$IE^{2}=\frac{1}{4}(R-2r)^{2}$

$IE=\left |\frac{R}{2}-r \right |$

 

Do đó bán kính đường tròn $Euler$ bằng $\frac{R}{2}$ và bán kính đường tròn nội tiếp bằng $r$ nên suy ra chúng tiếp xúc với nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 18-08-2015 - 16:23


#3 duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2015 - 20:58

Xét tam giác ABC với $(I),(I_{a}),(E)$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A và đường tròn Euler.

Gọi tiếp điểm của $(I),(I_{a})$ với BC là A' và A''

Gọi M,N,P là trung điểm của BC,CA,AB.

AI cắt BC tại I' 

Kẻ I'J vuông góc với ME.

 

Bạn hãy chứng minh :

Phép nghịch đảo : $N\tfrac{MA'^2}{M}$ biến $(I)\rightarrow (I_{a})$  và $(E)\rightarrow I'J$

Sau đó chứng minh : I'J đối xứng với BC qua phân giác của góc A 

Nên theo tính chất phép nghịch đảo suy ra ngay ĐPCM 


          

 

 

 


#4 Dinh Minh Duc

Dinh Minh Duc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-01-2023 - 23:41

Xét tam giác ABC với $(I),(I_{a}),(E)$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A và đường tròn Euler.

Gọi tiếp điểm của $(I),(I_{a})$ với BC là A' và A''

Gọi M,N,P là trung điểm của BC,CA,AB.

AI cắt BC tại I' 

Kẻ I'J vuông góc với ME.

 

Bạn hãy chứng minh :

Phép nghịch đảo : $N\tfrac{MA'^2}{M}$ biến $(I)\rightarrow (I_{a})$  và $(E)\rightarrow I'J$

Sau đó chứng minh : I'J đối xứng với BC qua phân giác của góc A 

Nên theo tính chất phép nghịch đảo suy ra ngay ĐPCM 

Nhưng chỉ mới A' biến thành A'', thì sao nói phép nghịch đảo đó biến (I) thành (I_a) được bạn ơi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh