Cho a>c>0, b>c>0. Chứng minh rằng: $\sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 19-08-2015 - 19:45
Cho a>c>0, b>c>0. Chứng minh rằng: $\sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 19-08-2015 - 19:45
áp dụng BĐT C-S
$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{(c+b-c)(a-c+c)} =\sqrt{ab}$
~YÊU ~
Cho a>c>0, b>c>0. Chứng minh rằng: $\sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$
Áp dụng Bunhiacopxki ta có $(\sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} )^{2}\leq (c+a-c)(c+b-c)=ab\Leftrightarrow \sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$
Dấu''='' xảy ra khi $a=b=2c$
Cho a>c>0, b>c>0. Chứng minh rằng: $\sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$
Chia 2 vế cho $\sqrt{ab}$ ta thua được $\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}\leq 1$
Ta có $\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}=\sqrt{\frac{c}{b}(1-\frac{c}{a})}+\sqrt{\frac{c}{a}(1-\frac{c}{b})}\leq \frac{1}{2}(\frac{c}{b}+1-\frac{c}{a})+\frac{1}{2}(\frac{c}{a}+1-\frac{c}{b})\leq 1$
Cho a>c>0, b>c>0. Chứng minh rằng: $\sqrt{c(a-c )}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$
Bình phương hai vế, ta được: $c(a-c)+c(b-c)+2\sqrt{c^2(a-c)(b-c)}\leqslant ab\Leftrightarrow ab-ac-bc+2c^2-2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\geqslant 0\Leftrightarrow (a-c)(b-c)-2c\sqrt{(a-c)(b-c)}+c^2\geqslant 0\Leftrightarrow (\sqrt{(a-c)(b-c)}-c)^2\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $c=\frac{ab}{a+b}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh