Chủ đề này có 6 trả lời

[Lin Kon]

1.Cho $x,y$ thỏa mãn $x>8y>0$

Tìm Min của $P=x+\frac{1}{y(x-8y)}$

2.Tìm Min của

$B=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

với $x,y,z>0$ và $xyz=1$

[hoctrocuaHolmes]

1.Cho $x,y$ thỏa mãn $x>8y>0$

Tìm Min của $P=x+\frac{1}{y(x-8y)}$

2.Tìm Min của

$B=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

với $x,y,z>0$ và $xyz=1$

1. Áp dụng AM-GM ta có $P=x-8y+8y+\frac{1}{y(x-8y)}\geq 3\sqrt[3]{8y(x-8y).\frac{1}{y(x-8y)}}=6$

Dấu''='' xảy ra khi $x=16y$

[ttlinhtinh]

1) Sử dụng BĐT AM-GM ta có: 

$P=(x-8y)+\frac{1}{y(x-8y)}+8y\geq 3\sqrt[3]{(x-8y)\frac{1}{x-8y}8y}=6$

Dấu bằng xảy ra khi: $x-8y=\frac{1}{y(x-8y)}=8y\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

[hoctrocuaHolmes]

1.Cho $x,y$ thỏa mãn $x>8y>0$

Tìm Min của $P=x+\frac{1}{y(x-8y)}$

2.Tìm Min của

$B=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

với $x,y,z>0$ và $xyz=1$

2. Ta có $xyz=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{yz} & & \\ y=\frac{1}{zx} & & \\ z=\frac{1}{xy} & & \end{matrix}\right.$

Áp dụng Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có

$B=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y+z)}+\frac{x^{2}z^{2}}{y(x+z)}+\frac{y^{2}x^{2}}{z(y+x)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$ (chú ý gt $xyz=1$)

Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

[hoctrocuaHolmes]

1.Cho $x,y$ thỏa mãn $x>8y>0$

Tìm Min của $P=x+\frac{1}{y(x-8y)}$

2.Tìm Min của

$B=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

với $x,y,z>0$ và $xyz=1$

2. Cách khác

Ta có $B=\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{xz}{y^{2}(x+z)}+\frac{yx}{z^{2}(y+x)}$

Áp dụng AM-GM $\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq \frac{1}{x}\Rightarrow \sum \frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow \sum \frac{yz}{x^{2}(y+z)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{2}$ (chú ý gt $xyz=1$)

Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

[AnhTam97]

 

2.Tìm Min của

$B=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

với $x,y,z>0$ và $xyz=1$

cách khác : 

ta có : $B=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{xy+xz}=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}}\geqslant \frac{\left ( \sum \frac{1}{x} \right )^{2}}{2\sum\frac{1}{x} }=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{x}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTam97: 20-08-2015 - 09:31

[KietLW9]

2.Tìm Min của

$B=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

với $x,y,z>0$ và $xyz=1$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{3}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-04-2021 - 13:26