Đến nội dung


Hình ảnh
* * - - - 1 Bình chọn

$S=\sum_{i=1}^{1996} d \left (\dfrac{1996}{i} \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 marsu

marsu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 30-04-2006 - 09:18

Cho $t$ là số dương tùy ý, số các phân số tối giản $\dfrac{a}{b};0<a,b\leq t$ được kí hiệu là $d(t)$. Tính
$$S=\sum_{i=1}^{1996} d \left (\dfrac{1996}{i} \right )$$
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 trường Hà Nội Amsterdam năm học 2005-2006

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 29-11-2012 - 21:05

Tổng quát bài toán với $m,n \in \mathbb{N}^*$. Ta sẽ tính \[
S = \sum\limits_{i = 1}^n {d\left( {\frac{m}{i}} \right)}
\]
Lời giải:
Với mỗi phân số $x=\dfrac{a}{b}$ (không nhất thiết tối giản), ta đồng nhất $x$ với điểm $X(a;b)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Xét hình chữ nhật $\omega$ có đường chéo $AB$ với $A(1;1);B(m;n)$.
Với mỗi đường thẳng $l$ đi qua $O$, chứa các điểm nguyên nằm trong $\omega$ là $(p;q);(2p;2q);...;(kp;kq)$ trong đó $gcd(p;q)=1$.
Vì $kp \le m; kq \le n$ nên\[
p \le \frac{m}{k} < \frac{m}{{k - 1}} < ... < \frac{m}{1};q \le \frac{n}{k} < \frac{n}{{k - 1}} < ... < \frac{n}{1}
\]
Do đó, $\dfrac{p}{q}$ sẽ được tính $k$ lần trong $d\left( {\frac{m}{1}} \right); d\left( {\frac{m}{2}} \right);...; d\left( {\frac{m}{k}} \right)$.
Từ đó, ta có $S$ chính là số các điểm nguyên không nằm ngoài $\omega$.
Vậy $S=mn$.
================================
Khi $m=n=1996$ thì ta có đáp số bài toán là $S=1996^2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-11-2012 - 21:08

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-12-2012 - 21:53

Chấm điểm
perfectstrong: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh