Phân tích tìm lời giải : Do giả thiết và biểu thức P tồn tại ở dạng đẳng cấp $\Rightarrow$ sử dụng phương pháp giảm biến bằng cách đặt như sau :
$\left\{\begin{matrix} a=x.c & \\b=y.c & \end{matrix}\right.(x,y>1))$
Ta được $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}(1)$
$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}$
khai thác giả thiết :
$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1})^2=(\sqrt{xy})^2\\\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{(x-1)(y-1)}=xy$
để ý đẳng thức : $(x-1)(y-1)=xy-x-y+1$
$\Leftrightarrow (xy-x-y+1)-2\sqrt{(x-1)(y-1)}+1=0\\\Leftrightarrow (\sqrt{(x-1)(y-1)}-1)^2=0\\\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=1\\\Leftrightarrow xy=x+y(2)$
$P=\frac{x^2}{x+xy}+\frac{y^2}{y+xy}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{(x+y)^2-2xy}\\\ge\frac{(x+y)^2}{x+y+2xy}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{(x+y)^2-2(x+y)}\\=\frac{(x+y)^2}{x+y+2(x+y)}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{(x+y)^2-2(x+y)}\\=\frac{1}{3}.(x+y)+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{(x+y)^2-2(x+y)}$
Đặt $t=x+y$
ta có $xy\le\frac{(x+y)^2}{4}\overset{(2)}{\rightarrow}t\le\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge4.$
Lúc đó : $P\ge f(t)=\frac{1}{3}t+\frac{1}{t}+\frac{1}{t^2-2t}(t\ge4)\\=\frac{(t-4)(8t^2-25t+6)}{24t(t-2)}+\frac{41}{24}\ge \frac{41}{24} (\forall y\ge4)$