Giải hệ phương trình :$\begin{cases}
x^3-3x=y \\
y^3-3y=z \\
z^3-3z=x \\
\end{cases}$
$\begin{cases} x^3-3x=y \\ y^3-3y=z \\ z^3-3z=x \\ \end{cases}$
#1
Đã gửi 22-08-2015 - 17:56
- Viet Hoang 99 yêu thích
#2
Đã gửi 07-10-2016 - 22:23
Giải hệ phương trình :$\begin{cases}
x^3-3x=y ~(1)\\
y^3-3y=z ~(2)\\
z^3-3z=x ~(3)\\
\end{cases}$
TH1: Xét $x\in [-2;2]$
Đặt $x=2\cos t, t\in [0;\pi]$
$$\begin{align*} (1)\Leftrightarrow &8\cos^3 t-6\cos t=y\\ \Leftrightarrow &y=2\cos 3t \end{align*}$$
$$\begin{align*} (2)\Leftrightarrow &8\cos^3 3t-6\cos 3t=z\\ \Leftrightarrow &y=2\cos 9t \end{align*}$$
$$\begin{align*} (3)\Leftrightarrow &8\cos^3 9t-6\cos 9t=2\cos t\\ \Leftrightarrow &\cos 27t=\cos 3t\\ \Leftrightarrow &\begin{bmatrix}t=\dfrac{k\pi}{13} & & \\ t=\dfrac{k\pi}{14} & & \end{bmatrix} \end{align*}$$
Do $t\in [0;\pi]$ nên $t\in \left \{ 0;\dfrac{\pi}{13};\dfrac{2\pi}{13};...;\pi;\dfrac{\pi}{14};\dfrac{2\pi}{14};...;\dfrac{13\pi}{14} \right \}$
Hpt có 27 nghiệm $(x,y,z)=(2\cos t, 2\cos 3t, 2\cos 9t)$ với $t\in \left \{ 0;\dfrac{\pi}{13};\dfrac{2\pi}{13};...;\pi;\dfrac{\pi}{14};\dfrac{2\pi}{14};...;\dfrac{13\pi}{14} \right \}$
TH2: Xét $x\notin [-2;2]$
Ta thấy nếu $(x_0;y_0;z_0)$ là nghiệm của hpt thì $(-x_0;-y_0;-z_0)$ cũng là nghiệm của hpt nên ta chỉ cần xét $x>2$
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x), x>2$
$$f'(x)=3x^3-3>0\forall x>2$$
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến / $(2;+\infty)\Rightarrow f(x)>f(2)\Rightarrow y>2$
Tương tự suy ra $z>2$
Xét hàm số $f(t)=t^3-3t, t>2$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến / $(2;+\infty)$
Giả sử $x\ge y$
$$\begin{align*} \Leftrightarrow &f(x)\ge f(y)\\ \Leftrightarrow &y\ge z\\ \Leftrightarrow &f(y)\ge f(z)\\ \Leftrightarrow &z\ge x\\ \Rightarrow &x=y=z \end{align*}$$
Thay vào $(1)$ ta có $\begin{bmatrix}x=0(L) & & \\ x=\pm 2(L) & & \end{bmatrix}$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Đã gửi 07-10-2016 - 23:00
Còn cách nào ngắn gọn hơn mà dung kiến thức THCS ko anh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QWEFJAS: 07-10-2016 - 23:02
King of darius(:
#4
Đã gửi 07-10-2016 - 23:24
Còn cách nào ngắn gọn hơn mà dung kiến thức THCS ko anh
Em xem mấy bài ở đây
Bài này thì không làm thế được )
- QWEFJAS yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh