Chủ đề này có 8 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cách giải tổng quát của phương trình nghiệm nguyên dương dạng: $(x+1)^y-x^z=1$ 

[Ego]

Ý bạn thì tổng quát là?
$x^{z} = (x + 1)^{y} - 1$
Nếu $y = 1 \implies z = 1$
Nếu $y = 2$ và $x + 2$ là lũy thừa của $2$. Có $x^{z} = x(x + 2)$. Từ đây suy ra $x = 2$. Do đó $(x, y, z) = (2, 2, 3)$
Nếu $y = 6$ và $x = 1$. Vô nghiệm.
Nếu khác các trường hợp còn lại, theo đlí Zsigmondy $x^{z} = (x + 1)^{y} - 1$ có một ước nguyên tố $p$ sao cho $p\nmid x + 1 - 1 = x$. Vô lí.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 22-03-2016 - 16:37
Lỗi latex

[I Love MC]

Xét phương trình $(x+1)^y=x^z+1$ 
Dễ thấy $z$ lẻ 
PT $\Leftrightarrow (x+1)^{y-1}=x^{z-1}-x^{z-2}+..+x^2-x+1$ (*)

• Nếu $x$ là số lẻ khi đó mỗi số hạng của vế phải  của (*) đều lẻ nên suy ra vế phải của (*) là lẻ. Mặc khác vế trái lại chẵn (với $y>1$ còn khi $y=1$ thì $x=1$ $z=t$ với $t$ nguyên dương) dẫn đến vô lí (ý em là $y>1$) 
• Nếu $x$ là số chẵn viết lại phương trình $x^z=(x+1)^y-1$ (1)
  Suy ra $x^z=C_y^1.x+C_y^2.x^2+...+C_y^y.x^y$ 
  Dễ thấy $z>1$ suy ra $x^{z-1}=C_y^1+C_y^2.x+...+C_y^y.x^{y-1}$ (2)
  Xét $y=z=1$ suy ra $x=t$ với $t$ nguyên dương 
  Với $y,z>1$ vậy thì $x|x^{z-1},x^{y-1}$. Từ (2) suy ra $x|y$ . Vì $x$ chẵn nên $y$ chẵn 
  Đặt $x=2a,y=2b$ trong đó $a,b \ge 1$  
  (1) $\Rightarrow (2a)^z=(2a+1)^{2b}-1 \Rightarrow (2a)^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$  (3)
  Đặt $d=gcd((2a+1)^b-1,(2a+1)^b+1) \Rightarrow d=2$ (4)
  Nên ta tiếp tục chia thành các trường hợp : 
  TH1 : $a=1$ hoặc $a$ là lũy thừa của $2$ suy ra $(2a)^z$ cũng là lũy thừa $2$  
  (3)+(4) $\rightarrow (2a+1)^y-1=2 \Leftrightarrow a=1,b=1 \Rightarrow x=y=2,z=3$ 
  TH2 : $a$ không là lũy thừa của $2$ suy ra $a^z>2^z$ 
  Ta có $2^z.a^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$ do $a$ không là lũy thừa của $2$ nên $a^z$ là số lẻ. 
  Từ đó suy ra $\begin{cases} &(2b+1)^y+1=2^{z_1}.a^z&\\&(2b+1)^y-1=2^{z_2}& \end{cases}$ ($z_1+z_2=z$ và $z_1,z_2 \in \mathbb{N^*}$) 
  $a^z>2^z \Rightarrow 2^{z_1}.a^z>2^{z_1+z}$ 
  Suy ra $2^{z_1}.a^z-2^{z_2}>2$ 
  Suy ra $[(2a+1)^b+1]-[(2a+1)^b-1]>2$ (dễ thấy vô lí) 
  Kết luận $(x,y,z)=(1,1,t),(t,1,1),(2,2,3)$ 
  P/s : Xem lại dùm em cái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 14-03-2016 - 21:50

[Ego]

Ý bạn thì tổng quát là?
$x^{z} = (x + 1)^{y} - 1$
Nếu $y = 1 \implies z = 1$
Nếu $y = 2$ và $x + 2$ là lũy thừa của $2$. Có $x^{z} = x(x + 2)$. Từ đây suy ra $x = 2$. Do đó $(x, y, z) = (2, 2, 3)$
Nếu $y = 6$ và $x = 1$. Vô nghiệm.
Nếu khác các trường hợp còn lại, theo đlí Zsigmondy $x^{z} = (x + 1)^{y} - 1$ có một ước nguyên tố $p$ sao cho $p\nmid x + 1 - 1 = x$. Vô lí.

Sao lại bị lỗi Latex nhỉ... Mà mình không thể sửa nữa

[yeutoan2001]

 

Xét phương trình $(x+1)^y=x^z+1$ 
Dễ thấy $z$ lẻ 
PT $\Leftrightarrow (x+1)^{y-1}=x^{z-1}-x^{z-2}+..+x^2-x+1$ (*)

• Nếu $x$ là số lẻ khi đó mỗi số hạng của vế phải  của (*) đều lẻ nên suy ra vế phải của (*) là lẻ. Mặc khác vế trái lại chẵn (với $y>1$ còn khi $y=1$ thì $x=1$ $z=t$ với $t$ nguyên dương) dẫn đến vô lí (ý em là $y>1$) 
• Nếu $x$ là số chẵn viết lại phương trình $x^z=(x+1)^y-1$ (1)
  Suy ra $x^z=C_y^1.x+C_y^2.x^2+...+C_y^y.x^y$ 
  Dễ thấy $z>1$ suy ra $x^{z-1}=C_y^1+C_y^2.x+...+C_y^y.x^{y-1}$ (2)
  Xét $y=z=1$ suy ra $x=t$ với $t$ nguyên dương 
  Với $y,z>1$ vậy thì $x|x^{z-1},x^{y-1}$. Từ (2) suy ra $x|y$ . Vì $x$ chẵn nên $y$ chẵn 
  Đặt $x=2a,y=2b$ trong đó $a,b \ge 1$  
  (1) $\Rightarrow (2a)^z=(2a+1)^{2b}-1 \Rightarrow (2a)^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$  (3)
  Đặt $d=gcd((2a+1)^b-1,(2a+1)^b+1) \Rightarrow d=2$ (4)
  Nên ta tiếp tục chia thành các trường hợp : 
  TH1 : $a=1$ hoặc $a$ là lũy thừa của $2$ suy ra $(2a)^z$ cũng là lũy thừa $2$  
  (3)+(4) $\rightarrow (2a+1)^y-1=2 \Leftrightarrow a=1,b=1 \Rightarrow x=y=2,z=3$ 
  TH2 : $a$ không là lũy thừa của $2$ suy ra $a^z>2^z$ 
  Ta có $2^z.a^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$ do $a$ không là lũy thừa của $2$ nên $a^z$ là số lẻ. 
  Từ đó suy ra $\begin{cases} &(2b+1)^y+1=2^{z_1}.a^z&\\&(2b+1)^y-1=2^{z_2}& \end{cases}$ ($z_1+z_2=z$ và $z_1,z_2 \in \mathbb{N^*}$) 
  $a^z>2^z \Rightarrow 2^{z_1}.a^z>2^{z_1+z}$ 
  Suy ra $2^{z_1}.a^z-2^{z_2}>2$ 
  Suy ra $[(2a+1)^b+1]-[(2a+1)^b-1]>2$ (dễ thấy vô lí) 
  Kết luận $(x,y,z)=(1,1,t),(t,1,1),(2,2,3)$ 
  P/s : Xem lại dùm em cái

 

Bạn ơi chỗ đó a đâu có nguyên tố đâu nhỡ a được phân tích thành nhân tử có dạng a=pq thì 

$(2a+1)^{b}-1=2.p^{z} VÀ (2a+1)^{b}+1=2^{z-1}.q^{z}$ cũng được mà Mình nghĩ a phải nguyên tố bạn mới được tách như thế

[yeutoan2001]

Ý bạn thì tổng quát là?
$x^{z} = (x + 1)^{y} - 1$
Nếu $y = 1 \implies z = 1$
Nếu $y = 2$ và $x + 2$ là lũy thừa của $2$. Có $x^{z} = x(x + 2)$. Từ đây suy ra $x = 2$. Do đó $(x, y, z) = (2, 2, 3)$
Nếu $y = 6$ và $x = 1$. Vô nghiệm.
Nếu khác các trường hợp còn lại, theo đlí Zsigmondy $x^{z} = (x + 1)^{y} - 1$ có một ước nguyên tố $p$ sao cho $p\nmid x + 1 - 1 = x$. Vô lí.

BẠn có thể cho mình cách chứng minh Định lí trên không 

[NTMFlashNo1]

BẠn có thể cho mình cách chứng minh Định lí trên không 

Mình có tài liệu này

File gửi kèm

•  Zsigmondy Theorem (1).pdf   174.6K   215 Số lần tải

[yeutoan2001]

 

Xét phương trình $(x+1)^y=x^z+1$ 
Dễ thấy $z$ lẻ 
PT $\Leftrightarrow (x+1)^{y-1}=x^{z-1}-x^{z-2}+..+x^2-x+1$ (*)

• Nếu $x$ là số lẻ khi đó mỗi số hạng của vế phải  của (*) đều lẻ nên suy ra vế phải của (*) là lẻ. Mặc khác vế trái lại chẵn (với $y>1$ còn khi $y=1$ thì $x=1$ $z=t$ với $t$ nguyên dương) dẫn đến vô lí (ý em là $y>1$) 
• Nếu $x$ là số chẵn viết lại phương trình $x^z=(x+1)^y-1$ (1)
  Suy ra $x^z=C_y^1.x+C_y^2.x^2+...+C_y^y.x^y$ 
  Dễ thấy $z>1$ suy ra $x^{z-1}=C_y^1+C_y^2.x+...+C_y^y.x^{y-1}$ (2)
  Xét $y=z=1$ suy ra $x=t$ với $t$ nguyên dương 
  Với $y,z>1$ vậy thì $x|x^{z-1},x^{y-1}$. Từ (2) suy ra $x|y$ . Vì $x$ chẵn nên $y$ chẵn 
  Đặt $x=2a,y=2b$ trong đó $a,b \ge 1$  
  (1) $\Rightarrow (2a)^z=(2a+1)^{2b}-1 \Rightarrow (2a)^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$  (3)
  Đặt $d=gcd((2a+1)^b-1,(2a+1)^b+1) \Rightarrow d=2$ (4)
  Nên ta tiếp tục chia thành các trường hợp : 
  TH1 : $a=1$ hoặc $a$ là lũy thừa của $2$ suy ra $(2a)^z$ cũng là lũy thừa $2$  
  (3)+(4) $\rightarrow (2a+1)^y-1=2 \Leftrightarrow a=1,b=1 \Rightarrow x=y=2,z=3$ 
  TH2 : $a$ không là lũy thừa của $2$ suy ra $a^z>2^z$ 
  Ta có $2^z.a^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$ do $a$ không là lũy thừa của $2$ nên $a^z$ là số lẻ. 
  Từ đó suy ra $\begin{cases} &(2b+1)^y+1=2^{z_1}.a^z&\\&(2b+1)^y-1=2^{z_2}& \end{cases}$ ($z_1+z_2=z$ và $z_1,z_2 \in \mathbb{N^*}$) 
  $a^z>2^z \Rightarrow 2^{z_1}.a^z>2^{z_1+z}$ 
  Suy ra $2^{z_1}.a^z-2^{z_2}>2$ 
  Suy ra $[(2a+1)^b+1]-[(2a+1)^b-1]>2$ (dễ thấy vô lí) 
  Kết luận $(x,y,z)=(1,1,t),(t,1,1),(2,2,3)$ 
  P/s : Xem lại dùm em cái

 

a không là lũy thừa của 2 chưa chắt a lẻ mà bạn 

[yeutoan2001]

 

Xét phương trình $(x+1)^y=x^z+1$ 
Dễ thấy $z$ lẻ 
PT $\Leftrightarrow (x+1)^{y-1}=x^{z-1}-x^{z-2}+..+x^2-x+1$ (*)

• Nếu $x$ là số lẻ khi đó mỗi số hạng của vế phải  của (*) đều lẻ nên suy ra vế phải của (*) là lẻ. Mặc khác vế trái lại chẵn (với $y>1$ còn khi $y=1$ thì $x=1$ $z=t$ với $t$ nguyên dương) dẫn đến vô lí (ý em là $y>1$) 
• Nếu $x$ là số chẵn viết lại phương trình $x^z=(x+1)^y-1$ (1)
  Suy ra $x^z=C_y^1.x+C_y^2.x^2+...+C_y^y.x^y$ 
  Dễ thấy $z>1$ suy ra $x^{z-1}=C_y^1+C_y^2.x+...+C_y^y.x^{y-1}$ (2)
  Xét $y=z=1$ suy ra $x=t$ với $t$ nguyên dương 
  Với $y,z>1$ vậy thì $x|x^{z-1},x^{y-1}$. Từ (2) suy ra $x|y$ . Vì $x$ chẵn nên $y$ chẵn 
  Đặt $x=2a,y=2b$ trong đó $a,b \ge 1$  
  (1) $\Rightarrow (2a)^z=(2a+1)^{2b}-1 \Rightarrow (2a)^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$  (3)
  Đặt $d=gcd((2a+1)^b-1,(2a+1)^b+1) \Rightarrow d=2$ (4)
  Nên ta tiếp tục chia thành các trường hợp : 
  TH1 : $a=1$ hoặc $a$ là lũy thừa của $2$ suy ra $(2a)^z$ cũng là lũy thừa $2$  
  (3)+(4) $\rightarrow (2a+1)^y-1=2 \Leftrightarrow a=1,b=1 \Rightarrow x=y=2,z=3$ 
  TH2 : $a$ không là lũy thừa của $2$ suy ra $a^z>2^z$ 
  Ta có $2^z.a^z=[(2a+1)^b-1][(2a+1)^b+1]$ do $a$ không là lũy thừa của $2$ nên $a^z$ là số lẻ. 
  Từ đó suy ra $\begin{cases} &(2b+1)^y+1=2^{z_1}.a^z&\\&(2b+1)^y-1=2^{z_2}& \end{cases}$ ($z_1+z_2=z$ và $z_1,z_2 \in \mathbb{N^*}$) 
  $a^z>2^z \Rightarrow 2^{z_1}.a^z>2^{z_1+z}$ 
  Suy ra $2^{z_1}.a^z-2^{z_2}>2$ 
  Suy ra $[(2a+1)^b+1]-[(2a+1)^b-1]>2$ (dễ thấy vô lí) 
  Kết luận $(x,y,z)=(1,1,t),(t,1,1),(2,2,3)$ 
  P/s : Xem lại dùm em cái

 

Không phải bạn ơi số a sao chia ra đuwọc 2 TH: LÀ lũy thừa của a và Trường hợp lẻ được còn một trường hợp là $a=2^{m}.n$