Chủ đề này có 2 trả lời

[anticp2015]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{3a-b+c}+\frac{b}{3b-c+a}+\frac{c}{3c-a+b}\geq 1$

[hoctrocuaHolmes]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{3a-b+c}+\frac{b}{3b-c+a}+\frac{c}{3c-a+b}\geq 1$

Đặt $a=x+y;b=y+z;c=z+x$ ta cần cm

$\frac{x+y}{2(2x+y)}+\frac{y+z}{2(2y+z)}+\frac{z+x}{2(2z+x)}\geq 1$

$\Leftrightarrow 3-\frac{x}{2(2x+y)}-\frac{y}{2(2y+z)}-\frac{z}{2(2z+x)}\geq 1\Leftrightarrow \frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}\leq 2\Leftrightarrow 3-\frac{y}{2x+y}-\frac{z}{2y+z}-\frac{x}{2z+x}\leq 2\Leftrightarrow \frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\geq 1$

Thật vậy áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}=\frac{y^{2}}{2xy+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2zy+z^{2}}+\frac{x^{2}}{2xz+x^{2}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

[KietLW9]

Ta có: $4VT=\sum_{cyc}\frac{4a}{3a-b+c}=\sum_{cyc}\frac{(3a-b+c)+(a+b-c)}{3a-b+c}=3+\sum_{cyc}\frac{(a+b-c)^2}{(a+b-c)(3a-b+c)}\geqslant 3+\frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}(a+b-c)(3a-b+c)}=3+\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=4$ 

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{3a-b+c}\geqslant 1(Q.E.D)$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c