Bài toán 1. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Lời giải:
Đặt $ A= \large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
$B= \large \dfrac{b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{a^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta nhận thấy nếu trong B ta đặt b=a,c=b,a=c thì ta được A.
Do đó việc CM $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$ là tương đương với việc CM $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Việc CM 1 trong 2 điều trên là vô cùng khó khăn.Như ta đã thấy hầu hết các phương pháp đều chịu bó tay còn dùng "chia để trị" thì lại vô cùng dài dòng và mệt mỏi.Nhưng nếu ta cộng 2 BDT lại tức là CM điều sau: A+B a+b+c lại vô cùng dễ dàng như sẽ thấy sau đây:
Ta có: $A+B= \large \dfrac{a^7+b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7+c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7+a^7}{c^6+a^6} \geq \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} + \dfrac{c+a}{2} =a+b+c$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Hoặc $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Và như lí luận trên đầu thì ta đã có điều cần CM.
P/S: nếu như lời giải trên là sai thì chắc là do chủ quan duy lí trí nên mình ko nhận ra còn nếu như nó đúng thì sẽ là một bước đột phá quá mạnh mẽ trong BDT.Mong các bạn quan tâm và cho ý kiến đặc biệt là anh <span style='color:blue'>hatucdao</span>.Hiện tại mình ko có thời gian học toán sơ cấp và càng ko có thời gian làm BDT nhưng vẫn cố bố trí thời gian để thảo luận cùng các bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-04-2009 - 13:27