2 replies to this topic

[Tieu Vuong Gia]

Nhờ anh em diễn đàn giải giúp ý này: Cho G là nhóm có 2n phần tử và H là nhóm con của G có n phần tử. Chứng minh rằng nếu $x\in G$ thì $x^{2}\in H$. Cảm ơn.

[fghost]

Vì nhóm $G$ có 2n phần tử, nhóm con $H$ có n phần tử, nên $H$ phải là normal subgroup của $G$. Nên ta có thể xét nhóm $K=G/H$, và ta thấy nhóm $K$ có 2 phần tử, nên nó phải là $Z_2=\{0,1\}$. Xét $\varphi: G \rightarrow Z_2$ với kernel là $H$. Dễ thấy, với mọi $x \in G$ ta có $\varphi(x^2)=\varphi(x)^2=0 \in Z_2$, nên $x^2 \in ker(\varphi)=H$.

[Tieu Vuong Gia]

Vì nhóm $G$ có 2n phần tử, nhóm con $H$ có n phần tử, nên $H$ phải là normal subgroup của $G$. Nên ta có thể xét nhóm $K=G/H$, và ta thấy nhóm $K$ có 2 phần tử, nên nó phải là $Z_2=\{0,1\}$. Xét $\varphi: G \rightarrow Z_2$ với kernel là $H$. Dễ thấy, với mọi $x \in G$ ta có $\varphi(x^2)=\varphi(x)^2=0 \in Z_2$, nên $x^2 \in ker(\varphi)=H$.

Cảm ơn bạn nhé. Rất hay.