Nhờ anh em diễn đàn giải giúp ý này: Cho G là nhóm có 2n phần tử và H là nhóm con của G có n phần tử. Chứng minh rằng nếu $x\in G$ thì $x^{2}\in H$. Cảm ơn.
Bài chứng minh về nhóm
#1
Đã gửi 30-08-2015 - 07:29
#2
Đã gửi 01-09-2015 - 22:33
Vì nhóm $G$ có 2n phần tử, nhóm con $H$ có n phần tử, nên $H$ phải là normal subgroup của $G$. Nên ta có thể xét nhóm $K=G/H$, và ta thấy nhóm $K$ có 2 phần tử, nên nó phải là $Z_2=\{0,1\}$. Xét $\varphi: G \rightarrow Z_2$ với kernel là $H$. Dễ thấy, với mọi $x \in G$ ta có $\varphi(x^2)=\varphi(x)^2=0 \in Z_2$, nên $x^2 \in ker(\varphi)=H$.
- Minhcarnation yêu thích
#3
Đã gửi 02-09-2015 - 10:56
Vì nhóm $G$ có 2n phần tử, nhóm con $H$ có n phần tử, nên $H$ phải là normal subgroup của $G$. Nên ta có thể xét nhóm $K=G/H$, và ta thấy nhóm $K$ có 2 phần tử, nên nó phải là $Z_2=\{0,1\}$. Xét $\varphi: G \rightarrow Z_2$ với kernel là $H$. Dễ thấy, với mọi $x \in G$ ta có $\varphi(x^2)=\varphi(x)^2=0 \in Z_2$, nên $x^2 \in ker(\varphi)=H$.
Cảm ơn bạn nhé. Rất hay.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh