Chủ đề này có 145 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Bài 54: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. $I$ là giao điểm của các đường phân giác trong $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

                                                                $CI^2=\frac{(BC-AB)^2+AC^2}{2}$

[Minhnguyenthe333]

Bài 45 : Cho $\Delta ABC$ vuông góc tại A $\left ( AC> AB \right )$ , đường cao AH $\left ( H\epsilon BC \right )$ . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HA=HD. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 

 a, cm $\Delta BEC\sim \Delta ADC$

 b, Gọi M là trung điểm của BE.CMR $\Delta BEC\sim \Delta BHM$. Tính số đo góc AHM

 c, Tia AM cắt BC tại G . CM GB/BC =HD/(AH+HC)

 p/s: do phân số không nhập đc nên mong các bạn thông cảm

a.Áp dụng định lí Talet ta có: $\frac{DC}{EC}=\frac{CH}{CA}$

mà $\frac{CH}{CA}=\frac{AC}{BC}$ (do $\Delta ACB\sim \Delta HCA)$ và $\widehat{C}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta BEC \sim \Delta ADC$

b.Từ câu a suy ra: $\widehat{DAC}=\widehat{EBC}$ nên $\widehat{AEB}=\widehat{BDA}=45^0$ (do $\Delta AHD$ cân tại $H$)

$\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $A \Leftrightrarrow AB=AE$

Cần chứng minh: $\frac{BE}{BC}=\frac{BH}{BM}=\frac{2BH}{BM}$

$\Leftrightarrow BE^2=2BH.BC=2AB^2\Leftrightarrow AB=AE(cmt)$

mà $\widehat{EBC}$ là góc chung nên $ \Delta BEC \sim \Delta BHM$

$\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{BEC}=180-\widehat{AEB}=135^0$

$\Leftrightarrow \widehat{MHG}=180- \widehat{BHM}=45^0$

nên $\widehat{AHM}=90-\widehat{MHG}=45^0$

c.Do $M$ là trung điểm nên $AG$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{HC}$ ($\Delta ABC\sim \Delta HAC$)

ĐT$\Leftrightarrow \frac{AH}{HC}=\frac{HD}{HA+HC}\Leftrightarrow HA=0$ ?

P/S:nhờ bạn xem lại đề câu c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 14-11-2015 - 20:31

[hoctrocuaHolmes]

Góp với các bạn thcs sắp thi học sunh giỏi một số bài toán hình học sau :

Bài 47:  Chứng minh rằng $\Delta ABC$  đều nếu lấy một điểm bất kỳ ở miền trong tam giác thì tổng khoảng cách từ điểm này tới 3 cạnh là không đổi.

 

Hình vẽ đơn giản nên mình nhường phần vẽ hình cho các bạn nhé 

Kẻ $IE,IF,IH$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $I$ xuống $BC,AB,AC$

Vì tam giác $ABC$ đều nên 3 đường cao bằng nhau,ta có $\left\{\begin{matrix} \frac{IE}{h_{a}}=\frac{S_{IBC}}{S_{ABC}} & & \\ \frac{IH}{h_{b}}=\frac{S_{IAC}}{S_{ABC}} & & \\ \frac{IF}{h_{c}}=\frac{S_{IBA}}{S_{ABC}} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{IE}{h_{a}}+\frac{IH}{h_{b}}+\frac{IF}{h_{c}}=\frac{S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IBA}}{S_{ABC}}=1\Leftrightarrow \frac{IE+IF+IH}{h}=1\Leftrightarrow IE+IF+IH=h$ (không đổi) (đpcm)

[hoctrocuaHolmes]

Bài 55:  Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $EF$. Vẽ tia $Ot$ vuông góc với $EF$. Tia $Ot$ cắt nửa đường tròn tại $I$. Lấy điểm $A$ trên tia $Ot$ sao cho $IA = IO$. Vẽ hai tiếp tuyến $AP, AQ (P, Q$ là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt $EF$ lần lượt tại $B$ và $C$

            a) Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại $S$ thuộc cung $PQ (S$ không trùng với $P, Q, I$) cắt $AP, AC$ lần lượt tại $H, K. PQ$ cắt $OH, OK$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng $M, O, Q, K$ cùng thuộc 1 đường tròn

            b) Chứng minh rằng $HK = 2.MN$

Spoiler

Có bạn nào thi HSG chưa,post bài hình lên cho mọi người tham khảo nào   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 04-12-2015 - 22:09

[mam1101]

Ok luôn.

Bài 56. Cho (O;R) và đường thẳng a cắt đường tròn tại 2 điểm A,B. Gọi M là điểm thuộc a và nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MC,MD. Khi M thay đổi trên a, CD luôn đi qua một điểm cố định

Còn có câu dễ là với M nằm trong tam giác ABC, tìm vị trí điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến AB,AC,BC nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 04-12-2015 - 22:07

[royal1534]

Bài 55:  Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $EF$. Vẽ tia $Ot$ vuông góc với $EF$. Tia $Ot$ cắt nửa đường tròn tại $I$. Lấy điểm $A$ trên tia $Ot$ sao cho $IA = IO$. Vẽ hai tiếp tuyến $AP, AQ (P, Q$ là các tiếp điểm) với nửa đường tròn chúng cắt $EF$ lần lượt tại $B$ và $C$

            a) Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại $S$ thuộc cung $PQ (S$ không trùng với $P, Q, I$) cắt $AP, AC$ lần lượt tại $H, K. PQ$ cắt $OH, OK$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh rằng $M, O, Q, K$ cùng thuộc 1 đường tròn

            b) Chứng minh rằng $HK = 2.MN$

Spoiler

Có bạn nào thi HSG chưa,post bài hình lên cho mọi người tham khảo nào   

a,Xét $\Delta APO$ vuông tại $P$có $OA=2OI=2OP$ 

$\rightarrow \widehat{PAO}=30^o$

$\rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{PAO}=60^o$

Dễ chứng minh $\Delta ABC$ cân có $\widehat{BAC}=60^o$

$\rightarrow \Delta ABC$ đều 

$\rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^o$

$\rightarrow \widehat{POB}+\widehat{QOC}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=60^o$

$\rightarrow \widehat{POQ}=180^o-\widehat{POB}-\widehat{QOC}=120^o$

$\rightarrow 2(\widehat{HOS}+\widehat{SOK})=120^o$

$\rightarrow \widehat{HOK}=60^o$

Mặt khác dễ chứng minh $\Delta APQ$ đều nên $\widehat{AQM}=60^o$

Xét tứ giác $MOQK$ có $\widehat{MQK}=\widehat{MOK}=60^o$

Nên tứ giác $MOQK$ nội tiếp đường tròn

b,Tứ giác $MOQK$ nội tiếp $\rightarrow \widehat{QMO}=\widehat{OKQ}$ và $\widehat{KMO}=90^o$

                                    Mà $\widehat{OKQ}=\widehat{OKS}$

$\rightarrow \widehat{OMQ}=\widehat{OKS}$

$\rightarrow \Delta OMN \sim \Delta OKH$

$\rightarrow \frac{MN}{HK}=\frac{OM}{OK}$

Xét tam giác $KMO$ vuông tại $M (cmt)$ có $\widehat{MOK}=60^o$

$\rightarrow Cos60^o=\frac{OM}{OK}=\frac{1}{2}$

$\rightarrow \frac{MN}{HK}=\frac{1}{2}$

$\rightarrow HK=2MN$

 

Ok luôn.

Bài 56. Cho (O;R) và đường thẳng a cắt đường tròn tại 2 điểm A,B. Gọi M là điểm thuộc a và nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MC,MD. Khi M thay đổi trên a, CD luôn đi qua một điểm cố định

Kẻ tia Ox vuông góc với AB cắt CD tại G,OM cắt CD tại E,AB cắt CG tại T

Dễ dàng chứng minh $\Delta THG \sim \Delta TEM (g-g)$

$\rightarrow \widehat{OGE}=\widehat{OMH}$

$\rightarrow \Delta OGE \sim \Delta OMH (g-g)$

$\rightarrow \frac{OG}{OM}=\frac{OE}{OH}$

$\rightarrow OG=\frac{OM.OE}{OH}=\frac{OD^{2}}{OH}=\frac{R^{2}}{OH}$ 

Vì $A,B$ cố định nên $AB$ không đổi,mà $OH$ vuông góc với $AB \rightarrow OH$ không đổi 

$\rightarrow OG=\frac{R^{2}}{OH}$ không đổi 

Mà $O$ cố định $\rightarrow G $cố định 

$\rightarrow$ $CD$ luôn đi qua điểm $G$ cố định

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 03-12-2015 - 01:39

[royal1534]

Lâu rồi cũng chưa đăng bài tập,lại có mấy bài làm chưa ra muốn hỏi mấy bạn

Bài 57:Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Có $AB=c,BC=a,CA=b$.Lấy $M$ bất kì nằm trong $\Delta ABC$,Kẻ $MN,MP,MQ $lần lượt vuông góc với $AB,AC,BC$.Biết $MQ=x,MP=y,MN=z$

Chứng minh: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}$ (Bài này làm rồi nhưng thấy hay nên post cho mọi người cùng thảo luận)

Bài 58:Cho $AB$ và $CD$ là 2 dây của $(O)$ cắt nhau tại $E$ sao cho $AE<BE$.$C$ thuộc cung lớn $AB$.Lấy $M$ nằm giữa $E$ và $B$,Đường tròn $(I)$ ngoại tiếp $\Delta DEM$.Tiếp tuyến tại $E$ của $(I)$ cắt $BC$ ở $F$ và cắt $AC$ ở $G$.Biết $\frac{AM}{AB}=k$,Tính $\frac{EG}{EF}$ theo $k$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 04-12-2015 - 22:07

[nqt123]

 Bài 59:Cho tam giác ABC chu vi bằng 72 , vuông tại A có hiệu giũa đường trung tuyến và đường cao tương ứng cạnh huyền bằng 7 . Diện tích tam giác là?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 04-12-2015 - 21:15

[ViTuyet2001]

Bài 60:Cho tam giác vuông $ABC \left ( \angle A=90^{\circ} \right )$, đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng:

 

a, $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BD}{CE}$

 

b, $BD\sqrt{CH}+CE\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}$

 

p/s: đề hôm qua mình thi đó, câu hình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 04-12-2015 - 22:06

[huonggiang121]

Bài 60:Cho tam giác vuông $ABC \left ( \angle A=90^{\circ} \right )$, đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng:

 

a, $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BD}{CE}$

 

b, $BD\sqrt{CH}+CE\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}$

 

p/s: đề hôm qua mình thi đó, câu hình

Mình cũng mới làm đề này 

a, Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

$CE= \frac{HC^{2}}{AC} ; HC= \frac{AC^{2}}{BC}\Rightarrow HC^{2}= \frac{AC^{4}}{BC^{2}}$

Từ đây $\Rightarrow CE= \frac{AC^{3}}{BC^{2}}$

CMTT ta được $BD= \frac{AB^{3}}{BC^{2}}$

$\Rightarrow \frac{BD}{CE}= \frac{AB^{3}}{AC^{3}}$ (đpcm)

[diemquynhvmf]

Bài 60:Cho tam giác vuông $ABC \left ( \angle A=90^{\circ} \right )$, đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng:

 

a, $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BD}{CE}$

 

b, $BD\sqrt{CH}+CE\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}$

 

p/s: đề hôm qua mình thi đó, câu hình

Bài này bạn có thể xem lại Bài 1: ở trang đầu tiên của TOPIC nhé 

[huonggiang121]

Bài 61:Cho tam giác ABC có BC=10, CA=12, AB=14. Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp trong và trọng tâm của tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 02-01-2016 - 09:18

[diemquynhvmf]

Lâu rồi cũng chưa đăng bài tập,lại có mấy bài làm chưa ra muốn hỏi mấy bạn

Bài 57:Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Có $AB=c,BC=a,CA=b$.Lấy $M$ bất kì nằm trong $\Delta ABC$,Kẻ $MN,MP,MQ $lần lượt vuông góc với $AB,AC,BC$.Biết $MQ=x,MP=y,MN=z$

Chứng minh: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}$ (Bài này làm rồi nhưng thấy hay nên post cho mọi người cùng thảo luận)

Bài này chắc không cần vẽ hình đâu nhỉ vì thiên về biến đổi đại số hơn mà 

Áp dụng công thức quen thuộc sau $S=\frac{abc}{4R}$

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{\frac{abc}{2S}}}=\sqrt{2S.( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\sqrt{( ax+by+cz )( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ (đúng theo CBS)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$ hay tam giác $ABC$ đều 

[hoilamchi]

Bài 43:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB < AC$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $CB$ tại $T$. kẻ đường kính $AD, DB$ cắt $OT$ tại $E$. $CMR: AE // CD$ 

Hơi lười vẽ hình nên bạn tự vẽ nhé 

Vẽ tiếp tuyến thứ $TF$ của $(O)$

Để CM: AE // CD <==> góc AED+EDC=180' <==> AED=BAC <==> BAC+EAB=90' <==> EAC=90' <==> TAE=DAC 

   <==> TFE=DAC <==> TFE=CBD <==> TFE=EBT <==> tứ giác EBFT nội tiếp 

  <==> ETF=FBD <==> 90' - TOF=FBD <==> 90'- $\frac{AOF}{2}=FBD$ <==> 90'-$\frac{180-FOD}{2}$ =FBD 

<==> $\frac{FOD}{2}$ =FBD (luôn đúng).Ta có đpcm

[meomunsociu]

Bài 62: Cho $AMBN$ có đường tròn đường kính $AB$ tiếp xúc $MN$

C/m : Đường tròn đường kính $MN$ tiếp xúc $AB$ $\Leftrightarrow AB//MN$

[Minhnguyenthe333]

Bài 63:  Cho $M$ là điểm nằm trong đường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.Kẻ các đường thẳng $MA,MB,MC$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $A',B',C'$.C/m:    

                           $\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}}=\frac{(R^2-MO^2)^3}{(MA.MB.MC)^2}$

                                                  

[bobaki2013]

Bài 64. Cho hình thoi ABCD có $\widehat{BAD}=120^o.$ Tia Ax tạo với tia AB một góc $\widehat{BAx}=15^o$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh $\frac{4}{AB^2}=\frac{3}{AM^2}+\frac{3}{AN^2}.$

[thanhtuoanh]

Bài 61:Cho tam giác ABC có BC=10, CA=12, AB=14. Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp trong và trọng tâm của tam giác

Bài này có trong sách nâng cao phát triển toán 9 tập 1 nè,bạn xem trong đó có mà.

Bài nào khó hãy đăng lên chứ bài này mình thấy chưa phù hợp với HSG lắm 

[I Love MC]

Bài 65 : Cho đường tròn $(O)$ , $M$ là một điểm cố định khác $O$ và nằm trong đường tròn. Một đường tròn thay đổi đi qua $M$ và $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$. C/m $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 66 : Cho tam giác cân $ABC$ tại $A$ có góc $A$ nhọn . Kẻ đường cao $BD$ ($D \in AC$) Gọi $M,N$ và $I$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $BC,BM,BD$. Tia $NI$ cắt $AC$ tại $K$. C/m $3BC^2=4AC.CK$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 01-01-2016 - 20:48

[Element hero Neos]

Bài $67:$ Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $AB$ lấy điểm $M$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BM$ cắt $CM$ tại $N$. Chứng minh tam giác $AMN$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 02-01-2016 - 09:18