Chủ đề này có 145 trả lời

[diemquynhvmf]

Spoiler

Mình nghĩ các bạn đăng bài lên để hỏi,thu thập kiến thức là 1 điều rất tốt nhưng việc mọi người giải toán và mở rộng bài toán đó còn tốt hơn nhiều.Mình xem 1 bài toán này trên tạp chí THTT và thực sự khiến mình rất thích bởi sự phong phú trong lời giải và mở rộng của nó.Nhưng thực tế là mình hơi kém phần hình học nên nếu bạn nào đã đọc lời giải của bài toán này thì mong các bạn thử giải thích hướng đi của bài toán,biết đâu chúng ta sẽ có những ý mở để mở rộng bài toán hay hơn thì sao 

(trải lòng hơi nhiều nhỉ,thôi chúng ta vào cuộc nào  )

Bài 33: Cho $\Delta ABC$ ($AB$ cố định,$C$ tuỳ ý).Về phía ngoài tam giác $ABC$ vẽ $2$ tam giác vuông cân $ADC$ và $BEC$ vuông lần lượt tại $A,B$.Chứng minh:Trung điểm $F$ của $DE$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 16-09-2015 - 11:43

[Namnbk]

Bài 1:Cho $\Delta ABC;\widehat{A}=90^{\circ},AH\perp BC,HE\perp AB,HF\perp AC$.CMR
a)$AE.AB=AF.AC$
b)$\Delta AEF\sim\Delta ACB$
c)$BC^{2}=3AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}$
d)$\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}$
e)$AH^{3}=BC.BE.CF$
f)$BE.\sqrt{CH}+CE.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$
g)$\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$
(nguồn:từ $1$ bài viết của bạn songviae)

Sau một hồi chật vật thì mình cũng đã nghĩ ra câu 1f và thật ra nó sai đề
Sửa lại :$BE.\sqrt{CH}+CF.\sqrt{BH}=AH.\sqrt{BC}$
Chứng minh:
Ta có :chứng minh được $∆HEB~∆CHA ( g.g) =>EB:HA=BH:CA=>BE.AC=BH.HA$

Lại có $AB:FH=CA:CF$(hệ quả định lí Thales do $HF//AB$)$=>AB.CF=CA.FH=AH.HC$(hệ thức lượng $∆AHC ⊥H$ có đường cao $HF$)

Ta có: $AC^2=CH.BC$(hệ thức lượng $∆ABC$) $=> √CH=AC:√BC$
$=>BE√CH=(AC.BE) : √BC= BH.AH : √BC (1)$

Cmtt ta có: $CF√BH=(AB.CF) : √BC= AH.AC : √BC (2)$

$(1)(2)=> BE√CH+CF√BH=(BH.AH+AH.AC) : √BC = AH.BC : √BC = AH√BC$

Mod:Sửa bài bạn cực lắm nên sửa tạm như này,lần sau chú ý Latex nhé,nếu không theo quy định bạn sẽ bị nhắc nhở đấy.Cảm ơn bạn đã ủng hộ TOPIC

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 04-09-2015 - 16:30

[O0NgocDuy0O]

BÀI 29:   Cho tam giác $ABC$ có $2$ đường trung tuyến $BM$ và $CN$ vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Chứng minh $BC \geq \frac{2}{3}.$CH.  

Gọi giao điểm của $BM$ và $CN$ là $O$. $AO$ cắt  $BC$ tại $K$. Từ $O$  vẽ $OD$ vuông góc $BC$. Xét:

$\frac{BC}{AH}=\frac{BC}{3.OD}=\frac{BC.OD}{3.OD^{2}}=\frac{BO.OC}{3OD^{2}}=\frac{BO.OC}{3}.(\frac{1}{BO^{2}}+\frac{1}{OC^{2}})\geq \frac{1}{3}.BO.OC.2\sqrt{\frac{1}{BO^{2}.OC^{2}}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow BC\geq \frac{2}{3}.AH$.

Spoiler

Mình nghĩ đề lầm, nếu vậy thì làm như trên, với cả mình vẽ hình không được chuẩn, ad Trúc vẽ hộ mình cái nha

Mod:Bổ sung hình vào nhé bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 05-09-2015 - 17:55

[cam123]

Bài 34:Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, biết $AB=12cm;AC=15cm;BC=18cm$
a,Lập công thức tính độ dài đường phân giác $AD$
b,Áp dụng tính $AD$

Mod:Các bạn nhớ chú ý số thứ tự của bài tập nhé !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 22:36

[Bui Ba Anh]

Mình nghĩ thi HSG 9 thì bài này là căn nguyên của hầu hết các bài về đường tròn

Bài 35: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2010) (MOSP 1995)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. $AD,BE,CF$ là các đường cao. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn tại điểm $M$

1) Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,E,F$ cùng nằm trên đường tròn

2) Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $H$ là trược tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $GH$ vuông góc $AN$

Spoiler

topic hay!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 22:37

[nmuyen2001]

Bài 19:Cho đường tròn $(O;r)$ cố định và đường thẳng $d$ cố định không cắt đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là điểm di động trên $d$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ tới đường tròn $(O)$, ($A,B$ là các tiếp điểm). Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm cố định.
(bài viết của thầy Thế tối qua đăng lên cho mọi người thảo luận   )

Kẻ $OL\perp d$
Gọi H là giao điểm của OM và AB, I là giao điểm của OL và AB. Ta có $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow OH\perp AB$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta OBM$: $OH.OM=OB^{2}=r^{2}$ (1)
Xét $\Delta OHI$ và $\Delta OLM$, ta có:
$\widehat{O}$ là góc chung
$\Rightarrow \Delta OHI\sim \Delta OLM$
$\Rightarrow \frac{OH}{OI}=\frac{OL}{OM} \Rightarrow OH.OM=OL.OI$ (2)
Từ (1) và (2) $OL.OI=r^{2}$ $\Rightarrow OI=\frac{r^{2}}{OL}$
Ta có OL cố định vì (O;r) và đường thẳng d cố định nên I cố định khi M di chuyển trên d.

 

 

Hình gửi kèm

• 

[duc2603]

Bài 36:
Cho đường tròn bán kính $1$. $A,B,C$ là $3$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tai điểm $M$ trên đường tròn sao cho:
$MA + MB + MC > 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 22:36

[hoctrocuaHolmes]

Cho em hỏi, bài ko quá khó, em có thể đăng lên cho mọi người cùng giải ko ạ ?

Chắc bạn không đọc kĩ phần đầu của TOPIC,mình đã nói 

 

 

Mình biết là trên diễn đàn đã có một TOPIC riêng về ôn thi HSG năm học $2015-2016$ nhưng ở TOPIC đó các bài chủ yếu là phương trình vô tỉ,bất đẳng thức,... còn các bài hình học thì đã hoàn toàn ''lép vế ''.Phân môn hình học cũng là phân môn quan trọng trong thi HSG nên mình lập ra TOPIC này để các bạn cùng mình trao đổi những bài hình mà bản thân còn băn khoăn,phục vụ cho các cuộc thi HSG,chuyển cấp,chuyên...năm nay.Mong các bạn thảo luận sôi nổi  

 

Những bài toán nào quá đơn giản thì thôi nhưng nếu bạn chưa giải được thì cứ đăng,có thể bọn mình sẽ giúp bạn 

[anhtukhon1]

Bài 34:Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, biết $AB=12cm;AC=15cm;BC=18cm$
a,Lập công thức tính độ dài đường phân giác $AD$
b,Áp dụng tính $AD$

Mod:Các bạn nhớ chú ý số thứ tự của bài tập nhé !!!

Ê Cầm ơi công thức tính phân giác là $\sqrt{AB.AC-BC.DC}$ nhưng tao không biết chứng minh

[nmuyen2001]

Bài 8:
Giả sử $A_1,B_1,C_1$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.Giả sử $AA_1$ là trung tuyến $\Delta ABC$.Chứng minh $S_{B_1BC}=S_{C_1BC}$

Gọi M là trung điểm của $BC_{1}$, N là trung điểm của $CB_{1}$

Ta có $BM=MC_{1}, BA_{1}=A_{1}C \Rightarrow MA_{1}// CC_{1}$  

Tương tự ta có $NA_{1}//BB_{1}$

$\Rightarrow \frac{AC_{1}}{C_{1}M}=\frac{AI}{IA_{1}}=\frac{AB_{1}}{B_{1}N}$ 

$\Rightarrow \frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C} \Rightarrow C_{1}B_{1}//BC$ 

$\Rightarrow S_{B_1BC}=S_{C_1BC}$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmuyen2001: 04-09-2015 - 21:59

[royal1534]

Bài 34:Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$, biết $AB=12cm;AC=15cm;BC=18cm$
a,Lập công thức tính độ dài đường phân giác $AD$
b,Áp dụng tính $AD$
Mod:Các bạn nhớ chú ý số thứ tự của bài tập nhé !!!

Kẻ tia Cx sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{DCx}$
AD cắt Cx tại I
Ta có $\Delta ABD \sim \Delta CID (g-g)$
suy ra $\widehat{B}=\widehat{I}$ và $\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{ID}$
$\rightarrow AD.ID=BD.CD(1)$
Ta có $\widehat{B}=\widehat{I}(cmt)$
$\rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AIC (g-g)$
$\rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{AD}{AC}$
$\rightarrow AD.AI=AC.AB(2)$
(1)(2) $\rightarrow AD(AI-DI)=AC.AB-DB.DC$
       $\rightarrow AD^{2}=AB.AC-DB.DC$
       $\rightarrow AD=\sqrt{AB.AC-DB.DC}$
b,Thôi cái này tự tính nhé
Hình vẽ:"http://i.imgur.com/wYoaee5.png"/>

[nhivanle]

Xin đóng góp 1 bài : 

Bài 37 . Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ cố định , trên cạnh $BC$ lấy điểm $F$ cố định  ( $E$ khác $A$ và $C$; $F$ khác $B$ và $C$). Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ di động ( $D$ khác $A$ và $B$) . Hãy xác định vị trí điểm $D$ trên đường thẳng $AB$ sao cho $DE^2+DF^2$ có giá trị nhỏ nhất. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 05-11-2015 - 21:33

[VOHUNGTUAN]

Gọi giao điểm của $BM$ và $CN$ là $O$. $AO$ cắt  $BC$ tại $K$. Từ $O$  vẽ $OD$ vuông góc $BC$. Xét:

$\frac{BC}{AH}=\frac{BC}{3.OD}=\frac{BC.OD}{3.OD^{2}}=\frac{BO.OC}{3OD^{2}}=\frac{BO.OC}{3}.(\frac{1}{BO^{2}}+\frac{1}{OC^{2}})\geq \frac{1}{3}.BO.OC.2\sqrt{\frac{1}{BO^{2}.OC^{2}}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow BC\geq \frac{2}{3}.AH$.  

Spoiler

Mình nghĩ đề lầm, nếu vậy thì làm như trên.

Mod:Bổ sung hình vào nhé bạn

MÌNH FIX ĐỀ RÙI NHA

BÀI 38:   Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi I là tâm  đg tròn nội tiếp tam giác, E,F,D lần lượt là hình chiếu  của I trên AC, AB,BC.Gọi M là trung điểm AC.MI cắt AB tại N.FD cắt AH tại P. Chứng minh AN=AP

[hoctrocuaHolmes]

Mình nghĩ thi HSG 9 thì bài này là căn nguyên của hầu hết các bài về đường tròn

Bài 35: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2010) (MOSP 1995)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. $AD,BE,CF$ là các đường cao. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn tại điểm $M$

1) Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,E,F$ cùng nằm trên đường tròn

2) Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $H$ là trược tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $GH$ vuông góc $AN$

Spoiler

topic hay!

Thế nếu tam giác $ABC$ cân thì làm sao $EF$ cắt $BC$ được ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 05-09-2015 - 21:25

[royal1534]

Mình nghĩ thi HSG 9 thì bài này là căn nguyên của hầu hết các bài về đường tròn

Bài 35: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2010) (MOSP 1995)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. $AD,BE,CF$ là các đường cao. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn tại điểm $M$

1) Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,E,F$ cùng nằm trên đường tròn

2) Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $H$ là trược tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $GH$ vuông góc $AN$

Spoiler

topic hay!

a,Ta có tứ giác BFEC nội tiếp,G là giao điểm EF và BC

$\Rightarrow$ GE.GF=GB.GC

Tứ giác AMBC nội tiếp,G là giao điểm AM và BC

$\Rightarrow$ GM.GA=GB.GC

$\Rightarrow$ GM.GA=GE.GF

$\Rightarrow$ Tứ giác AMFE nội tiếp.

b,Dễ ch/m được M thuộc đường tròn đường kính AH do đó,HM vuông góc MA

Kẻ MH cắt (O) tại K $\rightarrow $AK là đường kính của $(O)$

suy ra KC//BH(cùng vuông góc với $AC$)

          KB//CH(cùng vuông góc với $AB$)

$\Rightarrow$ BHCK là hình bình hành 

$\Rightarrow$ HK đi qua N

$\Rightarrow$ H,M,N thẳng hàng 

Tam giác GAN có 2 đường cao AD,MN cắt nhau tại H nên H là trực tâm $\Delta GAN $

$\Rightarrow$ GH vuông góc với AN $(Q.E.D)$

Hình vẽ:"http://i.imgur.com/HatNZjy.png"/>

[anhtukhon1]

Bài 31: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên AB, AD lấy M,N sao cho $\widehat{MCN}=45^{\circ}$. Trên BC và CD lấy P và Q sao cho $\widehat{PAQ}=45^{\circ}$, E là giao điểm của AP và CM, F là giao điểm của AQ và CN

a) Tính tổng chu vi của tam giác AMN và tam giác CPQ theo a

b) BE, EF, FD lập thành 3 cạnh của 1 tam giác vuông.

Bài này vẫn chưa giải được giải hộ cái

Bài 39: Chứng minh rằng: Trong tam giác nhọn ta luôn có: $\frac{m_{a}}{h_{a}}+\frac{m_{b}}{h_{b}}+\frac{m_{c}}{h_{c}}\leq 1+\frac{R}{r}$. Trong đó:

$m_{a}$ là trung tuyến kẻ từ đỉnh A xuống BC.

$h_{a}$ là đường cao kẻ từ đỉnh A xuống BC.

$R$: Bán kính đường tròn ngoại tiếp

$r$: Bán kính đường tròn nội tiếp

[cam123]

Bài 40:Cho tam giác ABC gọi M là 1 điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt BC,CA,AB tại D,E,F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $\sqrt{\frac{AM}{MD}}$ + $\sqrt{\frac{BM}{ME}}$ + $\sqrt{\frac{CM}{MF}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 22:37

[royal1534]

Bài 40:Cho tam giác ABC gọi M là 1 điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt BC,CA,AB tại D,E,F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $\sqrt{\frac{AM}{MD}}$ + $\sqrt{\frac{BM}{ME}}$ + $\sqrt{\frac{CM}{MF}}$

Đặt $SBMC=x^{2},SCMA=y^{2},SAMB=z^{2}$
$\rightarrow \frac{AD}{MD}=\frac{SABC}{SBMC}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}}$
$\rightarrow \frac{AM}{MD}+1=1+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}}$
$\rightarrow \sqrt{\frac{AM}{MD}}=\frac{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}{x}$
Tương tự $\sqrt{\frac{MB}{ME}}=\frac{\sqrt{x^{2}+z^{2}}}{y}$
         $\sqrt{\frac{MC}{MF}}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}$
$\rightarrow \sqrt{\frac{AM}{MD}}+\sqrt{\frac{MB}{ME}}+\sqrt{\frac{MC}{MF}}=\frac{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}{x}+\frac{\sqrt{z^{2}+x^{2}}}{y}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}\geq \frac{y+z}{x\sqrt{2}}+\frac{z+x}{y\sqrt{2}}+\frac{x+y}{z\sqrt{2}}\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\geq\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}$
Vậy $\sqrt{\frac{AM}{MD}}+\sqrt{\frac{MB}{ME}}+\sqrt{\frac{MC}{MF}} \geq 3\sqrt{2}$
Hình
http://i.imgur.com/tk5oyCn.png

[hoctrocuaHolmes]

Bài 36:
Cho đường tròn bán kính $1$. $A,B,C$ là $3$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tai điểm $M$ trên đường tròn sao cho:
$MA + MB + MC > 3$

Giả sử không tồn tại điểm $M$ thoả mãn thì với mọi điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $O$ ta có$MA+MB+MC<3$
Lấy $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$. Tương tự ta cũng sẽ có $M'A+M'B+M'C<3$
Suy ra $M'A+M'B+M'C+MA+MB+MC<6$
Mặt khác, ta lại có:

$M'A+M'B+M'C+MA+MB+MC=(M'A+MA)+(M'B+MB)+(M'C+MC)\geq 3.MM'=6$
(mâu thuẫn)

Vậy điều giả sử là sai,đpcm là đúng

Bài toán có thể mở rộng với $n$ điểm như sau:

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $r=1$. Lấy tùy ý $n$ điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3},...,A_{n}$ trên đường tròn đã cho.CMR: Tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho:$MA_{1}+MA_{2}+MA_{3}+...+MA_{n}\geq n$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 21:58

[hoctrocuaHolmes]

Bài 23:Cho đường tròn O đường kính BC. H thuộc OB, lấy A ngoài (O) sao cho AH vuông góc BC. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến với 2 tiếp điểm là D và E sao cho D ở giữa B và E 

a, Chứng minh AEHD nội tiếp 

b, chứng minh BE,CD,AH đồng quy

--

a) Tứ giác $HOEA$ và $ODAE$ nội tiếp nên $H, D, E, A$ cùng thuộc đường tròn $(QED)$ suy ra đpcm
b)Từ phần a) tứ giác $HDAE$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DHA}=\widehat{ADE};\widehat{AHE}=\widehat{EDA}$
Mà $\widehat{ADE}=\widehat{EDA}$ (AD=AE) suy ra  $HA$ là tia phân giác của $\widehat{DHE}$
Ta có $BD$ vuông góc vs $CD; BE$ vuông góc vs $CE$ nên $BE, CD, HA$ là ba đg cao của $\Delta$ có cạnh $BC$ và $2$ cạnh chứa $BD, CE$. Từ đó $BD, HA, CE$ đồng quy
Nhận thấy tam giác tạo bởi $3$ chân đường cao thì có $3$ phân giác là $3$ đường cao đó. Nên $BE, CD, HA$ là $3$ phân giác  trong $\Delta HDE$ nên chúng đồng quy

Hình gửi kèm

•