Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{O}$.thì tam giác ABC đều

- - - - - vecto vector hình học phẳng tam giác đều đường tròn nội tiếp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
VanLTT

VanLTT

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{O}$.thì tam giác ABC đều

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-09-2015 - 20:48
Chú ý cách đặt tiêu đề


#2
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{O}$.thì tam giác ABC đều

export.png

 

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 

Kẻ $DI\parallel AC$

 

Ta có:$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=\frac{AI}{AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{ID}{AC}.\overrightarrow{AC}$

 

Theo định lí ta có:$\frac{AI}{AB}=\frac{DC}{BC};\frac{ID}{AC}=\frac{BD}{BC}$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{DC}{BC}.\overrightarrow{AB}+\frac{BD}{BC}.\overrightarrow{AC}$

 

Chứng minh tương tự:$\overrightarrow{BE}=\frac{CE}{AC}.\overrightarrow{BA}+\frac{AE}{AC}.\overrightarrow{BC}$

 

$\overrightarrow{CF}=\frac{AF}{AB}.\overrightarrow{CB}+\frac{BF}{AB}.\overrightarrow{CA}$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}\left ( \frac{DC}{BC}-\frac{CE}{AC} \right )+\overrightarrow{BC}\left ( \frac{AE}{AC}-\frac{AF}{AB} \right )+\overrightarrow{CA}\left ( \frac{BF}{AB}-\frac{BD}{BC} \right )$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}\left ( \frac{DC}{BC}-\frac{CE}{AC} \right )+\overrightarrow{BC}\left ( \frac{AE}{AC}-\frac{AF}{AB} \right )+\overrightarrow{CA}\left ( \frac{BF}{AB}-\frac{BD}{BC} \right )$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{DC}{BC}=\frac{CE}{AC} & & & \\ \frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB} & & & \\ \frac{BF}{AB}=\frac{BD}{BC} & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} BC=AC(DC=CE) & & & \\ AC=AB(AE=AF) & & & \\ AB=BC(BF=BD) & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow AB=BC=CA\Rightarrow$ tam giác ABC đều


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 02-09-2015 - 07:01






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vecto, vector, hình học phẳng, tam giác đều, đường tròn nội tiếp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh