Chủ đề này có 4 trả lời

[foollock holmes]

cho x,y,z là các số thưc thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$ tìm max của

$P=xy+yz+xz +\frac{1}{2}[ x^2(y-z)^2 +y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$

[Minhnguyenthe333]

cho x,y,z là các số thưc thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$ tìm max của
$P=xy+yz+xz +\frac{1}{2}[ x^2(y-z)^2 +y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$

Cách của Dinh Xuan Hung
Do $1\geq x^2\Rightarrow 1-x^2\geq0$ nên ta có:
$P\leq xy+yz+zx+\frac{1}{2}[(y-z)^2 +(z-x)^2+(x-y)^2]=x^2+y^2+z^2=1$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 03-09-2015 - 17:16

[hoctrocuaHolmes]

cho x,y,z là các số thưc thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$ tìm max của

$P=xy+yz+xz +\frac{1}{2}[ x^2(y-z)^2 +y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$

Theo gt  $x^2+y^2+z^2=1$ $\Rightarrow 0\leq x^2;y^2;z^2 \leq 1$ do đó

$P=xy+yz+xz +\frac{1}{2}[ x^2(y-z)^2 +y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$ $\leq xy+yz+zx+\frac{1}{2}[(y-z)^2+(x-y)^2+(x-z)^2]=xy+yz+zx+(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^2+y^2+z^2=1$

Vậy $P max=1$ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[foollock holmes]

Cách của Dinh Xuan Hung
Do $1\geq x^2\Rightarrow 1-x^2\geq0$ nên ta có:
$P\leq xy+yz+zx+\frac{1}{2}[(y-z)^2 +(z-x)^2+(x-y)^2]$

 

 

Theo gt  $x^2+y^2+z^2=1$ $\Rightarrow 0\leq x^2;y^2;z^2 \leq 1$ do đó

$P=xy+yz+xz +\frac{1}{2}[ x^2(y-z)^2 +y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]$ $\leq xy+yz+zx+\frac{1}{2}[(y-z)^2+(x-y)^2+(x-z)^2]$

chỗ này phải có x=y=z=1 dấu bằng mới xảy ra chứ nhỉ

[KietLW9]

Ta có: $xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 -x^2yz-xy^2z-xyz^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(1-x^2)+zx(1-y^2)+xy(1-z^2)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xy(x^2+y^2)\leqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+\frac{y^2+z^2}{2}(y^2+z^2)+\frac{z^2+x^2}{2}(z^2+x^2)+\frac{x^2+y^2}{2}(x^2+y^2)=\frac{2(x^4+y^4+x^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2))}{2}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$