Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc\geq 1$.Chứng minh: $\sum \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

1/Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc\geq 1$.Chứng minh:

$ \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0$

 

2/Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}(n\in \mathbb{N^*})$.Chứng minh:

$a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq a^{2n+1}+b^{2n+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 03-09-2015 - 18:23


#2
duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

1/ IMO 2005 


          

 

 

 


#3
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

1/Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc\geq 1$.Chứng minh:

$ \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0$

 

2/Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}(n\in \mathbb{N^*})$.Chứng minh:

$a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq a^{2n+1}+b^{2n+1}$

2. Mình nghĩ giả thiết nên sửa lại là $a^{2n+1}+b^{2n+1} \geq a^{2n}+b^{2n}$ thì hơn.Lúc đó dấu ''='' mới xảy ra được 

Áp dụng Bunhiacopxki ta có

$(a^{2n+2}+b^{2n+2})(a^{2n}+b^{2n})\geq (a^{2n+1}+b^{2n+1})^2$

$\Leftrightarrow a^{2n+2}+b^{2n+2} \geq \frac{(a^{2n+1}+b^{2n+1})^2}{a^{2n}+b^{2n}}$

$\Leftrightarrow a^{2n+2}+b^{2n+2} \geq \frac{(a^{2n+1}+b^{2n+1})^2}{a^{2n}+b^{2n}} \geq a^{2n+1}+b^{2n+1}$ (theo gt $a^{2n+1}+b^{2n+1} \geq a^{2n}+b^{2n}$)

(đpcm)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b$



#4
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

2. Mình nghĩ giả thiết nên sửa lại là $a^{2n+1}+b^{2n+1} \geq a^{2n}+b^{2n}$ thì hơn.Lúc đó dấu ''='' mới xảy ra được 

Áp dụng Bunhiacopxki ta có

$(a^{2n+2}+b^{2n+2})(a^{2n}+b^{2n})\geq (a^{2n+1}+b^{2n+1})^2$

$\Leftrightarrow a^{2n+2}+b^{2n+2} \geq \frac{(a^{2n+1}+b^{2n+1})^2}{a^{2n}+b^{2n}}$

$\Leftrightarrow a^{2n+2}+b^{2n+2} \geq \frac{(a^{2n+1}+b^{2n+1})^2}{a^{2n}+b^{2n}} \geq a^{2n+1}+b^{2n+1}$ (theo gt $a^{2n+1}+b^{2n+1} \geq a^{2n}+b^{2n}$)

(đpcm)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b$

Mình xem lại đề rồi bạn ạ, giả thiết cho là đúng đấy.Mình giải theo cách phản chứng:

Giả sử bđt sai$\Rightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq 0$

Từ giả thiết ta có: $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}\geq 0$

$\Rightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1})^2>(a^{2n}+b^{2n})(a^{2n+2}+b^{2n+2})\Leftrightarrow 2(ab)^{2n+1}-(ab)^{2n}(a^2+b^2)\geq0$

$\Leftrightarrow -(ab)^{2n}(a-b)^2>0$ (Vô lí)

Vậy ta có đpcm



#5
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Mình xem lại đề rồi bạn ạ, giả thiết cho là đúng đấy.Mình giải theo cách phản chứng:

Giả sử bđt sai$\Rightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq 0$

Từ giả thiết ta có: $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}\geq 0$

$\Rightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1})^2>(a^{2n}+b^{2n})(a^{2n+2}+b^{2n+2})\Leftrightarrow 2(ab)^{2n+1}-(ab)^{2n}(a^2+b^2)\geq0$

$\Leftrightarrow -(ab)^{2n}(a-b)^2>0$ (Vô lí)

Vậy ta có đpcm

Mình chỉ thắc mắc là dấu ''='' xảy ra khi nào vậy  :mellow:

 

1/Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc\geq 1$.Chứng minh:

$ \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0$

 

2/Cho $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa $a^{2n+1}+b^{2n+1}>a^{2n}+b^{2n}(n\in \mathbb{N^*})$.Chứng minh:

$a^{2n+2}+b^{2n+2}\geq a^{2n+1}+b^{2n+1}$

1. Bất đẳng thức cần cm tương đương với

$ \Leftrightarrow \sum \frac{a^5}{a^5+b^2+c^2} \geq \sum \frac{a^2}{a^5+b^2+c^2}$

$\Leftrightarrow \sum( 1 - \frac{b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}) \geq \sum\frac{a^2}{a^5+b^2+c^2} $

$ \Leftrightarrow 3 \geq (a^2+b^2+c^2)( \sum \frac{1}{a^5+b^2+c^2})$

$ \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{5}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{5}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ $(*)$

Áp dụng Bunhiacopxki ta có 

$( a^{2}.b^{3}+b^{2}+c^{2}) ( a^{2}. \frac{1}{a^{3}}+b^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

Do đó $(a^{5}+b^{2}+c^{2}) (bc+b^{2}+c^{2}) \geq ( a^{2}.a^{3}+b^{2}+c^{2}) ( a^{2}.\frac{1}{a^{3}}+b^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ (chú ý giả thiết $abc \geq 1$)

Ta có

$\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \sum \frac{bc+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\leq \sum \frac{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}= \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

(đúng theo $(*)$)

Vậy ta có đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$



#6
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Mình chỉ thắc mắc là dấu ''='' xảy ra khi nào vậy  :mellow:

 

1. Bất đẳng thức cần cm tương đương với

$ \Leftrightarrow \sum \frac{a^5}{a^5+b^2+c^2} \geq \sum \frac{a^2}{a^5+b^2+c^2}$

$\Leftrightarrow \sum( 1 - \frac{b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}) \geq \sum\frac{a^2}{a^5+b^2+c^2} $

$ \Leftrightarrow 3 \geq (a^2+b^2+c^2)( \sum \frac{1}{a^5+b^2+c^2})$

$ \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{5}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{5}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ $(*)$

Áp dụng Bunhiacopxki ta có 

$( a^{2}.b^{3}+b^{2}+c^{2}) ( a^{2}. \frac{1}{a^{3}}+b^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

Do đó $(a^{5}+b^{2}+c^{2}) (bc+b^{2}+c^{2}) \geq ( a^{2}.a^{3}+b^{2}+c^{2}) ( a^{2}.\frac{1}{a^{3}}+b^{2}+c^{2}) \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ (chú ý giả thiết $abc \geq 1$)

Ta có

$\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \sum \frac{bc+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\leq \sum \frac{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}= \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

(đúng theo $(*)$)

Vậy ta có đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$

Mình nghĩ là dấu "=" không xảy ra


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 03-09-2015 - 21:05


#7
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 04-09-2015 - 16:28

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#8
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

1/Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc\geq 1$.Chứng minh:

$ \frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\geq 0$

 

Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$

Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )

Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$ 

Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $

Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh