Chủ đề này có 2 trả lời

[I Love MC]

Cho $x,y,z>0$ và $\sum x^2=3$. CHứng minh $\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}} \ge xy$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 08-09-2015 - 20:55

[hoctrocuaHolmes]

Cho $x,y,z>0$ và $\sum x^2=3$. CHứng minh $\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}} \ge xy$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{yz}\leq \frac{y+z+1}{3}\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{3x}{y+z+1}$

Ta cần cm $\sum \frac{x}{y+z+1}\geq \sum \frac{xy}{3}$

Thật vậy,áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$\sum \frac{x}{y+z+1}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+zx)+x+y+z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(\sum x^{2})+\sqrt{3\sum x^{2}}}=\frac{(x+y+z)^{2}}{9}\geq \frac{xy+yz+zx}{3}\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức đã được cm

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

[KietLW9]

Cho $x,y,z>0$ và $\sum x^2=3$. CHứng minh $\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}} \ge xy$

Ta dễ có: $(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)=9\Rightarrow x+y+z\leqslant 3=x^2+y^2+z^2$

Áp dụng Cauchy và Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $VT=\frac{x}{\sqrt{y.z.1}}+\frac{y}{\sqrt{z.x.1}}+\frac{z}{\sqrt{x.y.1}}\geqslant \frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)+x+y+z}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$