Đến nội dung

Hình ảnh

[BĐT HSGS TST ngày 1 vòng 1] $\sum \frac{1}{(a+1)^2(b+c)} \le \frac 38$

- - - - - hsgs inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Cho $a,b,c$ dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 

 

$\frac{1}{(a+1)^{2}(b+c)} + \frac{1}{(b+1)^{2}(c+a)} + \frac{1}{(c+1)^{2}(a+b)} \leq \frac{3}{8}$

 

P/s: Đây là bài 4 trong đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1(ngày hôm nay) sau khi đổi biến x,y,z thành a,b,c (đề ban đầu khá cồng kềnh). Mong mọi người cho lời giải và thảo luận.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 12-09-2015 - 16:27


#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho $a,b,c$ dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 

 

$\frac{1}{(a+1)^{2}(b+c)} + \frac{1}{(b+1)^{2}(c+a)} + \frac{1}{(c+1)^{2}(a+b)} \leq \frac{3}{8}$

 

P/s: Đây là bài 4 trong đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1(ngày hôm nay) sau khi đổi biến x,y,z thành a,b,c (đề ban đầu khá cồng kềnh). Mong mọi người cho lời giải và thảo luận.

 

Lời giải:

 

$\frac{1}{(a+1)^2(b+c)}=\frac{1}{(a^2+1+2a)(b+c)}\leq \frac{1}{4\sqrt{2abc(a^2+1)}}=\frac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}$

 

$\Rightarrow \text{VT}\leq\sum \frac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}$

 

Bây giờ đặt $(a,b,c)\rightarrow (\sqrt{\frac{x}{y}},\sqrt{\frac{y}{z}},\sqrt{\frac{z}{x}})$. Ta chỉ cần chứng minh: $A=\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ 

 

Đây là một BĐT quen thuộc, cách cm là dùng Cauchy Shwarz:

 

$A^2\leq [(z+y)+(z+x)+(x+y)]\left [ \sum \frac{y}{(x+y)(y+z)} \right ]=\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\leq \frac{9}{2}$

 

Do đó ta có đpcm

 

----------------------------------------------------------

P.s: Vậy là mất toi $5$ điểm :D . Đức ơi mày đã mất công post bài bất rồi sao không post luôn cả đề lên đây cho ae xem@@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 12-09-2015 - 17:14


#3
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Lời giải:

 

$\frac{1}{(a+1)^2(b+c)}=\frac{1}{(a^2+1+2a)(b+c)}\leq \frac{1}{4\sqrt{2abc(a^2+1)}}=\frac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}$

 

$\Rightarrow \text{VT}\leq\sum \frac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}$

 

Bây giờ đặt $(a,b,c)\rightarrow (\sqrt{\frac{x}{y}},\sqrt{\frac{y}{z}},\sqrt{\frac{z}{x}})$. Ta chỉ cần chứng minh: $A=\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ 

 

Đây là một BĐT quen thuộc, cách cm là dùng Cauchy Shwarz:

 

$A^2\leq [(z+y)+(z+x)+(x+y)]\left [ \sum \frac{y}{(x+y)(y+z)} \right ]=\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\leq \frac{9}{2}$

 

Do đó ta có đpcm

 

----------------------------------------------------------

P.s: Vậy là mất toi $5$ điểm :D . Đức ơi mày đã mất công post bài bất rồi sao không post luôn cả đề lên đây cho ae xem@@

Hic. May mà mày ko đi thi. Các thầy cô thu lại đề. Cuối giờ tao xin phép chụp lại nhưng ko được. Mà cách của mày hình như giống cách thằng Dũng. Tao đã đoán là vào đổi biến, y như rằng, dồn biến với đổi biến tao max ngu.



#4
Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Lời giải của mình theo đề ban đầu (chưa đổi biến)  :D

Hình gửi kèm

  • Capture190.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Quoc Thang: 12-09-2015 - 20:16


#5
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Bài này chính là bài toán của anh Trần Quốc Anh và có vẻ như bài VMO 2014 cũng xây dựng trên ý tưởng bài toán này.


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hsgs, inequality

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh