Cho $a,b,c$ dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{(a+1)^{2}(b+c)} + \frac{1}{(b+1)^{2}(c+a)} + \frac{1}{(c+1)^{2}(a+b)} \leq \frac{3}{8}$
P/s: Đây là bài 4 trong đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1(ngày hôm nay) sau khi đổi biến x,y,z thành a,b,c (đề ban đầu khá cồng kềnh). Mong mọi người cho lời giải và thảo luận.
Lời giải:
$\frac{1}{(a+1)^2(b+c)}=\frac{1}{(a^2+1+2a)(b+c)}\leq \frac{1}{4\sqrt{2abc(a^2+1)}}=\frac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}$
$\Rightarrow \text{VT}\leq\sum \frac{1}{4\sqrt{2(a^2+1)}}$
Bây giờ đặt $(a,b,c)\rightarrow (\sqrt{\frac{x}{y}},\sqrt{\frac{y}{z}},\sqrt{\frac{z}{x}})$. Ta chỉ cần chứng minh: $A=\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Đây là một BĐT quen thuộc, cách cm là dùng Cauchy Shwarz:
$A^2\leq [(z+y)+(z+x)+(x+y)]\left [ \sum \frac{y}{(x+y)(y+z)} \right ]=\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\leq \frac{9}{2}$
Do đó ta có đpcm
----------------------------------------------------------
P.s: Vậy là mất toi $5$ điểm . Đức ơi mày đã mất công post bài bất rồi sao không post luôn cả đề lên đây cho ae xem@@
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 12-09-2015 - 17:14