Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

         ĐỀ THI HSGS TST NGÀY 1 VÒNG 1

Thời gian: 210 phút.

 

 

 

Câu I: Giải HPT: $(x^{2}+y^{2})(x+y-3)=4y-6x$ ; 

                           $(x^{2}+y^{2})(x-y-5)=-4x-6y$ .

 

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+6)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

 

Câu III: Cho tam giác $ABC$ không cân, nhọn nội tiếp $(O)$ cố định. $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp. $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. $F$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. $IF$ cắt $BC$ tại $S$. $SM$ cắt $(O)$ tại $T$.

            (a) CMR: $TI$ luôn đi qua một điểm cố định $G$ khi $A$ di chuyển.

            (b) Gọi $H$ là trực tâm $ABC$. $Q$ đối xứng với $H$ qua $F$. $L$ là hình chiếu của $F$ lên $IC$. $R$ đối xứng với $I$ qua $L$. CMR: $FL,QR,GI$ đồng quy.

 

Câu IV: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{xy^{3}z^{3}}{(x^{2}+yz)^{2}(y^{3}+z^{3})} \leq \frac{3}{8}$.

 

 

HẾT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhduc3001: 13-09-2015 - 00:32


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Câu I: Giải HPT: $(x^{2}+y^{2})(x+y-3)=4y-6x$ ; 

                           $(x^{2}+y^{2})(x-y-5)=-4x-6y$ .

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-3=\frac{4y-6x}{x^2+y^2}\\x-y-5=\frac{-4x-6y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

cộng,trừ hai hệ trên ta có $\left\{\begin{matrix} x+y-3+\frac{6x-4y}{x^2+y^2}=0\\x-y-5+\frac{4x+6y}{x^2+y^2}=0 \end{matrix}\right.$

lấy $PT(1)+iPT(2)\Rightarrow x-iy+ix+y-3-5i+6\frac{x+iy}{x^2+y^2}+4\frac{ix-y}{x^2+y^2}=0$

đặt $z=x-iy\Rightarrow z+iz-3-5i+\frac{6}{z}+\frac{4i}{z}=0$

tới đây chắc được rồi

 

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+3)a_{n-1} -$ $3(2n-1)a_{n-2}$ $ + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

chỗ này đề đúng không nhỉ?


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Cấu 4 là một mô phỏng của Bài 6 VMO 2014. Ý tưởng giải cũng giống với bài 6 VMO.

 

Ta có $2(y^3+z^3) \ge (y+z)(y^2+z^2) \ge 2 \sqrt{yz} (y^2+z^2)$ và $x^2+yz \ge 2x \sqrt{yz}$. Do đó $$(y^3+z^3)(x^2+yz)^2 \ge 2xyz(y^2+z^2)(x^2+yz) \ge 2xyz(x^2y^2+x^2z^2+2y^2z^2).$$

Ta suy ra $$\sum \frac{xy^3z^3}{(x^2+yz)^2(y^3+z^3)} \le \frac 12 \sum \frac{y^2z^2}{x^2y^2+x^2z^2+2y^2z^2}.$$

Ta đưa bài toán về việc chứng minh

\begin{equation} \label{pt1} \sum \frac{a}{b+c+2a} \le \frac 34. \end{equation}

Ta thấy \eqref{pt1} tương đương với chứng minh $\sum \frac{b+c}{b+c+2a} \ge \frac 32$.

Đến đây thì áp dụng CS ta có $$\sum \frac{b+c}{b+c+2a}= \sum \frac{(b+c)^2}{(b+c)(b+c+2a)} \ge \frac{4(a+b+c)^2}{2\sum b^2+6 \sum ab} \ge \frac 32.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.

 

Ps: Ôi, cũng lâu lắm rồi mới giải một bài BĐT.  :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 12-09-2015 - 18:52

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} x+y-3=\frac{4y-6x}{x^2+y^2}\\x-y-5=\frac{-4x-6y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

cộng,trừ hai hệ trên ta có $\left\{\begin{matrix} x+y-3+\frac{6x-4y}{x^2+y^2}=0\\x-y-5+\frac{4x+6y}{x^2+y^2}=0 \end{matrix}\right.$

lấy $PT(1)+iPT(2)\Rightarrow x-iy+ix+y-3-5i+6\frac{x+iy}{x^2+y^2}+4\frac{ix-y}{x^2+y^2}=0$

đặt $z=x-iy\Rightarrow z+iz-3-5i+\frac{6}{z}+\frac{4i}{z}=0$

tới đây chắc được rồi

 
 

chỗ này đề đúng không nhỉ?

Mình sửa lại rồi nhé. Bạn thông cảm, các thầy cô ko cho cầm đề về. Mình xin chụp ảnh nhưng cũng ko cho. Mình gõ theo trí nhớ với xem lại nháp thôi.



#5
Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đây là lời giải của mình. Làm biếng gõ latex quá :D

Hình gửi kèm

  • Capture190.PNG


#6
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+3)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

Mình có tính toán một số $a_i$ đây:
 

$a_3=6 \times 11 -3 \times 7 \times 4+9 \times 1 \times 2=0$.

$a_4=7 \times 0-3 \times 9 \times 11+9 \times 2 \times 4=-225$.

$a_5=8 \times (-225)-3 \times 11 \times 0+9 \times 3 \times 11=-1503$.

$a_6=9 \times (-1503)-3 \times 13 \times (-225)+9 \times 4 \times 0=-4752$.

$a_7=10 \times (-4752)-3 \times 15 \times (-1503)+9 \times 5 \times (-225)=9990$.

$a_8$. Vì $a_6,a_7$ chẵn nên $a_8$ chẵn. Từ đây dẫn đến $a_i$ chẵn với mọi $i \ge 6$.

 

Bạn thử kiểm tra xem trên mình tính toán có đúng không. Nếu tính toán trên đúng thì mình nghĩ là chắc bạn viết sai chỗ nào trong đề bài. Làm phiền bạn kiểm lại đề bài 2 vậy.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#7
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đây là lời giải của mình. Làm biếng gõ latex quá :D

Hic. Mình cũng dùng p,q,r nhưng vì ghi nhầm cái mẫu thế là loay hoay mãi đoạn cuối. Lúc ra khỏi phòng thi mới xem lại thì hối hận.



#8
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Mình có tính toán một số $a_i$ đây:
 

$a_3=6 \times 11 -3 \times 7 \times 4+9 \times 1 \times 2=0$.

$a_4=7 \times 0-3 \times 9 \times 11+9 \times 2 \times 4=-225$.

$a_5=8 \times (-225)-3 \times 11 \times 0+9 \times 3 \times 11=-1503$.

$a_6=9 \times (-1503)-3 \times 13 \times (-225)+9 \times 4 \times 0=-4752$.

$a_7=10 \times (-4752)-3 \times 15 \times (-1503)+9 \times 5 \times (-225)=9990$.

$a_8$. Vì $a_6,a_7$ chẵn nên $a_8$ chẵn. Từ đây dẫn đến $a_i$ chẵn với mọi $i \ge 6$.

 

Bạn thử kiểm tra xem trên mình tính toán có đúng không. Nếu tính toán trên đúng thì mình nghĩ là chắc bạn viết sai chỗ nào trong đề bài. Làm phiền bạn kiểm lại đề bài 2 vậy.

Hic. Mình nhầm. Đây là sau khi mình chuyển sang. Mình sửa lại rồi đó.



#9
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Câu II: Cho dãy $(a_{n}) : a_{0}=2; a_{1}=4; a_{2}=11$ và công thức:  

 

$a_{n}= (n+6)a_{n-1} -3(2n+1)a_{n-2} + 9(n-2)a_{n-3} (n\geq 3)$

 

            CMR: Trong dãy trên tồn tại vô hạn các số $a_{n}$ sao cho $a_{n}-1$ chia hết cho $2^{2015}$.

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 12-09-2015 - 22:12

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#10
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$

Ờ nhỉ. Sao mình lại không nghĩ ra chuyển cái hệ số n đấy sang mà mình lại chuyển 3 cơ chứ. Thanks bạn vì lời giải. Mình thật sự rất ấn tượng.



#11
an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$

mình thấy cách đặt sao ấy, bạn xem lại đc ko, phương trình đặc trưng ko cho nghiệm n


tiến tới thành công  :D


#12
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Một số gợi ý cho câu b) bài hình

 

- Tích của hai phép đối xứng trục mà hai trục vuông góc là đối xứng tâm

 

- Có một bài toán quan trọng sau được dùng làm bổ đề

 

Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $K$ là hình chiếu của $D$ lên $EF$. Chứng minh rằng $KD$ là phân giác $\angle IKH$.



#13
SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

Hướng giải của em cho bài 3b:

- Theo gợi ý 1 của thầy Hùng, ta sẽ chứng minh đối xứng của điểm $H$ qua đường thẳng qua $F$ vuông góc $DE$ nằm trên $TI$ (1)

- Chứng minh $\angle CTI = 90^{\circ}$

- Gọi $K$ là hình chiếu của $F$ lên $DE$. Ta sẽ chứng minh $T,I,K$ thẳng hàng từ đó theo gợi ý 2, ta suy ra (1).

Gợi ý 2 có thể chứng minh bằng cách dùng bổ đề sau:

"Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H. E, F$ là 2 điểm bất kỳ trên $CA,AB$. Khi đó $H$ nằm trên trục đẳng phương của $(BE), (CF)$

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-08-06 21:44:57.png

HSGS in my heart  :icon12:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh