Đến nội dung

Hình ảnh

$AB$ và $BA$ có cùng đa thức biểu diễn

- - - - - đstt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Cho $A$ và $B$ lần lượt là các ma trận vuông cấp $n$.

Chứng minh rằng hai ma trận $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
lkl1994

lkl1994

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
Gọi $\lambda$ là một giá trị riêng bất kì của ma trận tích AB ứng với véc tơ riêng $x\not\equiv 0$.
$\Rightarrow  ABx=\lambda.x.$
Xét $BA(Bx)=B(ABx)=B\lambda.x=\lambda.Bx.$
Suy ra $\lambda$ cũng là một giá trị riêng của BA.
$\Rightarrow$ Mọi giá trị riêng của AB đều là giá trị riêng của BA.
Tương tự cũng có mọi giá trị riêng của BA đều là giá trị riêng của AB.
$\Rightarrow Q.E.D$.


#3
nthkhnimqt

nthkhnimqt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cm của bạn trên sai rồi


Cần lắm một bờ vai nương tựa


#4
LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
Với $A_{i},B_{j}$ là các khối được tao từ các cột và các hàng của A và B.
Áp dụng vào bài toán ta được kết quả 
$C=\begin{bmatrix} B &I \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} A\\ kI\\ \end{bmatrix} ;C^{T}=\begin{bmatrix} A &kI \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} B\\ I\\ \end{bmatrix}$
Do $\det(C)=\det(C^{T})$ nên $\det(AB+kI)=\det(BA+kI)$ ta có kết quả đa thức đặc trưng của 2 ma trận AB và BA là bằng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 28-10-2018 - 19:35


#5
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Nếu $A$ khả nghịch thì $AB$ và $A^{-1}ABA$ có cùng đa thức đặc trưng hay $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.'

Nếu $A$ không khả nghịch thì $det(A)=0$, tồn tại $m$ đủ lớn để $A_k=A-\frac{A}{k}$ không suy biến, với $k>m$.Theo trên thì $A_kB$ và $BA_k$ có cùng đa thức đặc trưng, hay

$| A_kB-\lambda I_n|=| BA_k-\lambda I_n |$

Cho $k \rightarrow + \infty$ thì $A_k \rightarrow A$, từ đó $|AB-\lambda I_n|=|BA-\lambda I_n|$ hay $AB$ và $BA$ có cùng đa thức đặc trưng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 28-10-2018 - 19:55





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh