Chủ đề này có 2 trả lời

[uahnbu29main]

Tìm P(x) thoả $P^{2}(x+1)=P(x^{2})+2x+1$

[dogsteven]

Tồn tại $a\in \mathbb{C}$ sao cho $P(a)=a$

Thay $x$ thành $a-1$ ta được $P((a-1)^2)=(a-1)^2$

Tiếp tục như thế ta được $P(x)-x$ có vô số nghiệm $a, (a-1)^2, ((a-1)^2-1)^2,....$

Do đó $P(x)=x$

[Ego]

Tồn tại $a\in \mathbb{C}$ sao cho $P(a)=a$

Thay $x$ thành $a-1$ ta được $P((a-1)^2)=(a-1)^2$

Tiếp tục như thế ta được $P(x)-x$ có vô số nghiệm $a, (a-1)^2, ((a-1)^2-1)^2,....$

Do đó $P(x)=x$

Nếu $a = 1$ thì dãy trên đâu có vô hạn đâu nhỉ ???
 

 

Tìm P(x) thoả $P^{2}(x+1)=P(x^{2})+2x+1$

Dễ thấy $P(x)$ không thể là hằng số. Gọi bậc của $P$ là $t \; (t \ge 1)$
Lấy đạo hàm hai vế, ta có $2P(x + 1).P'(x + 1) = 2x.P'(x^{2}) + 2 \implies P(x + 1).P'(x + 1) = x.P'(x^{2}) + 1$
So sánh số bậc hai bên, dễ thấy bậc của vế trái là $2t - 1$, bậc của vế phải là $t$. Từ đó phải có $t = 1$.
Đặt $P(x) = ax + b$ ($a \neq 0$)
Có $(ax + a + b)^{2} = ax^{2} + b + 2x + 1$. Suy ra $a = 1$ và $b = 0$ hoặc $b = -1$. Tuy nhiên với $b = -1$ cho điều vô lí. Vậy chỉ có thể $a = 1$ và $b = 0$. Nói cách khác, $P(x) = x$.