Đến nội dung


Hình ảnh

$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dangthanhbn

dangthanhbn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-09-2015 - 18:09

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 21-06-2017 - 21:37

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

 

Đặt $t=|\sin x|\, (t\in [0,1])$ $P=2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}=2^t+2^{\sqrt{1-t^2}}.$

 

Ta có $f'(t)= \left(2^t-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}2^{\sqrt{1-t^2}} \right) \ln 2.$

Và \[f'(t)=0 \iff \frac{2^{\sqrt{1-t^2}}}{\sqrt{1-t^2}} =\frac{2^t}{t}.\] 

Hơn nữa, $g(t)= \frac{2^t}{t}$ là hàm nghịch biến trên $(0,1).$

Do đó $f'(t)=0\iff t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

So sánh $f(0), f(1)$,  và $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 21-06-2017 - 21:37

Đời người là một hành trình...


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:04

Đặt t=|sinx|(t[0,1])t=|sin⁡x|(t∈[0,1]) P=2|sinx|+2|cosx|=2t+21t2.P=2|sin⁡x|+2|cos⁡x|=2t+21−t2.

 

Ta có f(t)=(2tt1t221t2)ln2.f′(t)=(2t−t1−t221−t2)ln⁡2.

f(t)=021t21t2=2tt.f′(t)=0⟺21−t21−t2=2tt.

Hơn nữa, g(t)=2ttg(t)=2tt là hàm nghịch biến trên (0,1).(0,1).

Do đó f(t)=0t=22.f′(t)=0⟺t=22.

So sánh f(0),f(1)f(0),f(1),  và f(22)f(22), suy ra điều phải chứng minh.


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh