CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$
$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$
#1
Đã gửi 18-09-2015 - 18:09
#2
Đã gửi 21-06-2017 - 21:37
CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$
Đặt $t=|\sin x|\, (t\in [0,1])$ $P=2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}=2^t+2^{\sqrt{1-t^2}}.$
Ta có $f'(t)= \left(2^t-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}2^{\sqrt{1-t^2}} \right) \ln 2.$
Và \[f'(t)=0 \iff \frac{2^{\sqrt{1-t^2}}}{\sqrt{1-t^2}} =\frac{2^t}{t}.\]
Hơn nữa, $g(t)= \frac{2^t}{t}$ là hàm nghịch biến trên $(0,1).$
Do đó $f'(t)=0\iff t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
So sánh $f(0), f(1)$, và $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 21-06-2017 - 21:37
- chanhquocnghiem, Element hero Neos và Drago thích
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 26-07-2019 - 10:04
Đặt t=|sinx|(t∈[0,1])t=|sinx|(t∈[0,1]) P=2|sinx|+2|cosx|=2t+2√1−t2.P=2|sinx|+2|cosx|=2t+21−t2.
Ta có f′(t)=(2t−t√1−t22√1−t2)ln2.f′(t)=(2t−t1−t221−t2)ln2.
Vàf′(t)=0⟺2√1−t2√1−t2=2tt.f′(t)=0⟺21−t21−t2=2tt.
Hơn nữa, g(t)=2ttg(t)=2tt là hàm nghịch biến trên (0,1).(0,1).
Do đó f′(t)=0⟺t=√22.f′(t)=0⟺t=22.
So sánh f(0),f(1)f(0),f(1), và f(√22)f(22), suy ra điều phải chứng minh.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh