Đến nội dung


Hình ảnh

HSG toán chuyên KHTN vòng 1 năm 2010


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-09-2015 - 18:34

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 1 NĂM HỌC 2010

Ngày thi thứ nhất

 

Câu 1. Tìm các cặp nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn phương trình

$$(x+1)^4+(x+2)^4+....+(x+2011)^4=4^y.$$

 

Câu 2. Cho $a_0,a_1>0$. Xét dãy {$a_n$} thỏa $a_{n+1}=\dfrac{2}{a_n+a_{n-1}}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn khi n tiến tới vô cùng và tìm giới hạn đó.

Câu 3. Tam giác$ ABC$ nhọn,$D$ nằm trong tam giác thỏa mãn $\widehat{ADB}=60^\circ +\widehat{ACB} $ và $DA.BC=DB.AC$. Chứng minh rằng $DC.AB=AD.BC$

Câu 4. Tìm số hoán vị ${a_1,a_2,...,a_n} $của {1,2,3,...,n} ($n\geq 2)$ thỏa mãn  cả hai điều kiện sau

1) $a_i \neq $ $i$ với mọi$ i=1,2,..,n$

2) $a_{i+1}-a_i \leq 1$ với mọi$ i=1,2,..,n-1$

 


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 1 NĂM HỌC 2010

Ngày thi thứ hai

Câu 1. Giải hệ sau $\left\{\begin{matrix}x+3y=x^3-12\\-y+4z=y^3-6\\ 9z+2x=z^3+32\end{matrix}\right.$

Câu 2. Cho$ a$ là số nguyên dương có ít nhất một ước nguyên tố khác $2$ và $5$.CMR với $k$ là số dương bất kì, luôn tồn tại vô hạn $n$ thỏa mãn $S(n)>k.S(an)$ Trong đó $S(x)$ là hàm tổng các chữ số của $x$ nguyên dương.

Câu 3. Kí hiệu$ I$ là tâm nội tiếp$ ABC$. Đường thẳng vuông góc với $IA $ tại $A$ cắt $BI,CI$ tại $K,M$. Gọi $B',C'$ là giao điểm của $2$ cặp $(BI,AC),(CI,AB)$. Đường thẳng $B'C'$ cắt $(O)=(ABC)$ tại $N,E$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,E,K$ thuôc cùng một đường tròn.

Câu 4. Một trò chơi được chơi bởi $2$ người rất giỏi bằng cách bẻ $1$ thanh gỗ có độ dài nguyên thành $2$ thanh gỗ có độ dài nguyên khác nhau. Trò chơi bất đầu với thanh có $\l =2010$. Hai bạn $A,B$ chơi lần lượt, $A$ đi trước. Trò chơi kết thúc nếu thanh gỗ có độ dài $1$ or $2$ ($k$ thể bẻ tiếp để thỏa mãn đề được nữa). Nếu kết thúc mà số thanh độ dài $1$ lớn hơn số thanh độ dài $2$ thì người đi bước cuối thắng, nếu ngược lại nhỏ hơn thì người đi bước cuối thua, nếu bằng thì hòa. Hãy xác định kết quả trò chơi ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 19-09-2015 - 23:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh