Đến nội dung


Hình ảnh

HSG toán chuyên KHTN vòng 2 năm 2010


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-09-2015 - 18:39

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 2 NĂM HỌC 2010

Ngày thi thứ nhất

 

Câu 1. Cho trước số nguyên dương lẻ $n$. Trong tất cả các cặp $(a,b)$nguyên dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+nb\ \vdots\  n+2 \\ a+(n+2)b\ \vdots\ n \end{matrix}\right.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a+b$.

Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại hàm $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ thỏa mãn $f(x+y)\ge y \cdot f_n(x) \,\, \forall x,y >0$ và $f_n(x)$ là hàm hợp bậc $n$.

Câu 3. Cho tứ giác toàn phần $ABCDEF$, trong đó tứ giác $ABCD$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$. Gọi $A_1, B_1, C_1, D_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Gọi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $EF$. Hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $A_1B_1,$ $B_1C_1,$ $C_1D_1,$ $D_1A_1$ là $M_1,M_2,M_3,M_4$. Chứng minh rằng $M_1,M_2,M_3,M_4$ thẳng hàng.

Câu 4. Cho $n$ là số nguyên dương. Xét 1 bảng ô vuông kích thước $n\times n$ được chia thành $n^2$ ô vuông con. Ban đầu tất cả ô vuông con đều trống. Mỗi bước ta chọn ra $n$ ô vuông con khác hàng và khác cột đôi một khác nhau, sau đó thêm vào chúng một ngôi sao. Chứng minh rằng từ một bảng $n\times n$ trống, sau 2010 bước thực hiện, ta thu được bảng có tổng sô ngôi sao trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng 2010.

 


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 2 NĂM HỌC 2010

Ngày thi thứ hai

Câu 1. Tìm tất cả các cặp $(m,n)$ cùng tính chãn lẻ sao cho $2(m^2+n^2)\vdots m^2-n^2-4$.

Câu 2. Giả sử đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $P(2x^3+x)=P(x)\cdot P(2x^2)$. Chứng minh rằng $P(x^2)\cdot P(y^2)\ge P(xy)$.

Câu 3. Cho 2 điểm $A,B$ cố định và $(O)$ thay đổi. $a,b$ là đường đối cực của $A,B$ đối với $(O)$ thỏa mãn $\dfrac{d(A,b)}{d(B,a)}=2$. Xác định vị trí của $O$ để $S_{OAB}$ lớn nhất.

Câu 4. Một $4k$-giác đều chia thành các hình bình hành không cắt nhau (có thể chung một phần cạnh)

1) Chứng minh rằng trong số các hình bình hành đó có ít nhất $k$ hình chữ nhật.

2) Giả sử cạnh đa giác đều là 1. Tính tổng diện tích tất cả các hình chữ nhật trong cách chia trên.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh