Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$
$\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{1+abc}$
Bắt đầu bởi Nhok Tung, 20-09-2015 - 23:10
#1
Đã gửi 20-09-2015 - 23:10
Nhok Tung
-
- Thành viên
-
- 226 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 21-09-2015 - 18:09
hoctrocuaHolmes
-
- Thành viên
-
- 1013 Bài viết
Thượng úy
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{1+abc}{a(1+b)}=\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{b(c+1)}{b+1}-1\Rightarrow \sum \frac{1+abc}{a(1+b)}=\sum \frac{a+1}{a(b+1)}+\sum \frac{b(c+1)}{b+1}-3=\sum (\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{a(b+1)}{a+1})-3\geq 2.3-3=3\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{1+abc}(đpcm)$
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=1$
- Nhok Tung và haichau0401 thích
#3
Đã gửi 16-04-2021 - 21:01
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
