Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $P(x)$ thoả $P(x).P(y)=...$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
uahnbu29main

uahnbu29main

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Tìm $P(x)$ thoả $P(x).P(y)=P^{2}(\frac{x+y}{2} )-P^{2}(\frac{x-y}{2} )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uahnbu29main: 21-09-2015 - 20:38


#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Nếu $P(x) = C$ thì dễ thấy $C = 0$.
Xét $\deg{P(x)} \ge 1$: Kí hiệu $L(x; y)$ là phép thế cho $P(x).P(y) = (P(\frac{x + y}{2}))^{2} + (P(\frac{x - y}{2}))^{2}$
$L(x; 0) \implies P(0) = 0$
Gọi $\deg{P(x)} = d$. Xét phần tử có số mũ lớn nhất của $P(x)$ là $ax^{d} \; (a \neq 0)$:
i) Vế trái: $a^{2}(xy)^{d}
ii) Vế phải: $a^{2}[(\frac{x + y}{2})^{2d} - (\frac{x - y}{2})^{2d}]$
Chúng bằng nhau khi và chỉ khi $d = 1$. Từ đó $P(x) = ax$
Thế lại, ta có $P(x) = ax$ hoặc $P(x) = 0$ là các đa thức duy nhất thỏa mãn.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 05-02-2016 - 09:36





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh