Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Watson1504

Watson1504

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

nhân hết lên. Viết delta theo x hoặc y. Là ra



#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Lời giải. Đầu tiên, ta chứng minh sự tồn tại của $x,y$ theo quy nạp.

Với $N=0$ thì chọn $x=y=0$.

Giả sử bài toán đúng đến $N=m$, tức tồn tại $x_m,y_m$ sao cho $m= \frac{(x_m+y_m)^2+3x_m+y_m}{2}$.

Ta cần chứng minh bài toán đúng với $N=m+1$. Ta chọn $x_{m+1}=x_m+1,y_{m+1}=y_m-1$ thì $$\frac{(x_{m+1}+y_{m+1})^2+3x_{m+1}+y_{m+1}}{2}= \frac{(x_m+y_m)^2+3x_m+y_m}{2}+1=m+1.$$

Trường hợp $y_m=0$, tức $m= \frac{x_m^2+3x_m}{2}$ thì chọn $x_{m+1}=0,y_{m+1}=x_m+1$, khi đó $$\frac{(x_{m+1}+y_{m+1})^2+3x_{m+1}+y_{m+1}}{2}= \frac{(x_m+1)^2+x_m+1}{2}=\frac{x_m^2+3x_m}{2}+1=m+1.$$

Tiếp, theo, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của $(x,y)$, hay nói cách khác ta cần chứng minh phương trình sau chỉ có nghiệm $a=x,b=y$: $$\frac{(a+b)^2+3a+b}{2}= \frac{(x+y)^2+3x+y}{2}.$$

Nếu $a+b=x+y$ ta dễ dàng suy ra $a=x,b=y$, mâu thuẫn.

Nếu $a+b \ne x+y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a+b>x+y$ thì ta suy ra $a+b-x-y \ge 1$ nên $(a+b-x-y)(a+b+x+y) \ge a+b+x+y$ hay $(3x+y)-(3a+b) \ge a+b+x+y$ tương đương với $x \ge 2a+b$, mâu thuẫn với điều kiện $a+b \ge x+y$.

Vậy $a=x,b=y$.

Bài toán được chứng minh. $\blacksquare$

 

 


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

ta đánh số tất cả các số nguyên dương $N$ trong mặt phẳng tọa độ như hình sau

Capture.PNG

ta kí hiệu $N\equiv (a,b)$ tức điểm mang số $N$ được đánh như trên sẽ có tọa độ $(a,b)$

ta chứng minh quy nạp rằng nếu $N\equiv (a,b)$ thì $N=\frac{(a+b)^2+3a+b}{2}$

$-$ với $N=0 \equiv (0,0)$ thì dễ thấy $0=\frac{(0+0)^2+3.0+0}{2}$

$-$ với $N=1 \equiv (0,1)$ thì dễ thấy $1=\frac{(0+1)^2+3.0+1}{2}$

$-$ giả sử bài toán đúng tới $N$ tức $N\equiv (x_N,y_N)$ thì $N=\frac{(x_N+y_N)^2+3x_N+y_N}{2}$

$-$ với $N+1\equiv (x_{N+1},y_{N+1})$

$\blacksquare$ nếu $y_N\neq 0$ thì $\left\{\begin{matrix} x_{N+1}=x_N+1\\y_{N+1}=y_N-1 \end{matrix}\right.$

thật vậy

$N+1=\frac{(x_{N+1}+y_{N+1})^2+3x_{N+1}+y_{N+1}}{2}=\frac{\left [ (x_N+1)+(y_N-1) \right ]^2+3(x_N+1)+(y_N-1)}{2}=\frac{(x_N+y_N)^2+3x_N+y_N}{2}+1$

$\blacksquare$ nếu $y_N= 0$ thì $\left\{\begin{matrix} x_{N+1}=0\\y_{N+1}=x_N+1 \end{matrix}\right.$

thật vậy

$N+1=\frac{(x_{N+1}+y_{N+1})^2+3x_{N+1}+y_{N+1}}{2}=\frac{\left [ 0+(x_N+1) \right ]^2+3.0+(x_N+1)}{2}=\frac{(x_N+y_N)^2+3x_N+y_N}{2}+1$

vậy theo quy nạp ta có điều phải chứng minh

mà mỗi điểm mang một vị trí được đánh dấu duy nhất trong tọa độ  nên các biểu diễn này là duy nhất

Spoiler

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-10-2015 - 15:20

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh