ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12-VÒNG 1
Bài 1(4 điểm)
Giải phương trình $:x^2-x-6=(2^x+1)\left ( 2^{\frac{x}{2}}+2 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2 \right )$
Bài 2(3 điểm)
Cho $a,b,c\ge 0$.Chứng minh bất đẳng thức
$(a+bc)^2+(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a)$
Tìm tất cả bộ số $\left ( a,b,c \right )$ để dấu đẳng thức xảy ra
Bài 3(3 điểm)
Cho hai đa thức $\mathcal{P}(x),\mathcal{Q}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$.Biết
$x^2+x+1\mid x.\mathcal{P}(x^2+x)+\mathcal{Q}(x^3)$
Chứng minh rằng $2015\mid \mathcal{P}(2014)+\mathcal{Q}(2016)$
Bài 4(4 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ có $AB=AD=a$.Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(A,a)$ cắt $BD$ tại điểm $S$,đường thẳng $SA$ cắt đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ tại hai điểm $A,N$.Gọi $E=BN\cap MD,F=BM\cap ND$.Chứng minh rằng
$1)$ $\overline{M,N,C}$
$2)$ $MO\perp FE$
Bài 5(3 điểm)
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số chính phương
Bài 6(3 điểm)
Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 23-09-2015 - 04:12