Chủ đề này có 15 trả lời

[nhungvienkimcuong]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12-VÒNG 1

Bài 1(4 điểm)

Giải phương trình $:x^2-x-6=(2^x+1)\left ( 2^{\frac{x}{2}}+2 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2 \right )$

 

Bài 2(3 điểm)

Cho $a,b,c\ge 0$.Chứng minh bất đẳng thức

$(a+bc)^2+(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a)$

Tìm tất cả bộ số $\left ( a,b,c \right )$ để dấu đẳng thức xảy ra

 

Bài 3(3 điểm)

Cho hai đa thức $\mathcal{P}(x),\mathcal{Q}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$.Biết

$x^2+x+1\mid x.\mathcal{P}(x^2+x)+\mathcal{Q}(x^3)$

Chứng minh rằng $2015\mid \mathcal{P}(2014)+\mathcal{Q}(2016)$

 

Bài 4(4 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ có $AB=AD=a$.Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(A,a)$ cắt $BD$ tại điểm $S$,đường thẳng $SA$ cắt đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ tại hai điểm $A,N$.Gọi $E=BN\cap MD,F=BM\cap ND$.Chứng minh rằng

$1)$ $\overline{M,N,C}$

$2)$ $MO\perp FE$

 

Bài 5(3 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số chính phương

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 23-09-2015 - 04:12

[Bui Ba Anh]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12-VÒNG 1

 

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$

 

Bài 6 mình làm bù trừ, không hiểu sao sai đáp số

Đặt $x_1=x-50, z_1=z-50, z_2=z-101$

Ta có $x_1+y+z_1=1965$ (1), $x_1+y+z_2=1864(2)$

Gọi $A$ là tập các nghiệm tự nhiên của $(1)$ thỏa $y_1 \leq 100, x_1,z_1 \geq 0$

Gọi $B$ là tập các nghiệm tự nhiên của $(2)$ thỏa $y_1 \leq 100, x_1,z_2 \geq 0$

Với mỗi $y_0$ từ $0-100$ thì số cách chọn $x_1,z_1$ là $C^{1}_{1965-y_0+2-1}$

Suy ra $|A|=1966+1965+....+1866$

Tương tự $|B|=1865+...+1765$

Gọi $C$ là tập các nghiệm thỏa đề thì theo bù trừ, ta có:

$|C|=|A|-|B|=10201$

 

Spoiler

cần 1 bạn tìm hộ mình chỗ sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 22-09-2015 - 23:00

[Belphegor Varia]

Bài 4(4 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ có $AB=AD=a$.Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(A,a)$ cắt $BD$ tại điểm $S$,đường thẳng $SA$ cắt đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ tại hai điểm $A,N$.Gọi $E=BN\cap MD,F=BM\cap ND$.Chứng minh rằng

$1)$ $\overline{M,N,C}$

$2)$ $MO\perp FE$

Bài hình khá dễ. 

a, Xét cực đối cực với $(A)$

Dễ thấy $S$ thuộc đường đối cực của $C$ nên $C$ thuộc đường đối cực của $S$ (Lahire) 

Suy ra $MC$ là đường đối cực của $S$ nên $MC$ vuông góc $AS$ 

Chứng minh được $CN$ vuông góc với $AS$ do đó ta có $Q.E.D$ 

b, Ta có $\angle FNS= \angle AND = \angle ACD =\angle BNS$

Suy ra $NS$ là phân giác $\angle BNF$. 

Vì $NS$ vuông góc $NM$ nên $NM$ là phân giác của $\angle FNE$ 

Ta có $\angle FMD= 90^o-\angle MDB=\angle BAC=\angle BNC=\angle MNE=\angle MNF$

Suy ra hai tam giác $FMN$ và $FDM$ đồng dạng 

$\Rightarrow FN.FD=FM^2$ 

Hay $F$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn $(O)$ và đường tròn điểm $M$

Tương tự ta có $E$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn $(O)$ và đường tròn điểm $M$

Suy ra $EF$ vuông góc với $OM$ $(Q.E.D)$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 22-09-2015 - 21:38

[Belphegor Varia]

Bài 5(3 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số tự nhiên

 

Mình tưởng bài này là hiển nhiên chứ nhỉ , chắc phải chứng minh dãy tăng để nó luôn $>0$ nữa 

[nhungvienkimcuong]

Mình tưởng bài này là hiển nhiên chứ nhỉ , chắc phải chứng minh dãy tăng để nó luôn $>0$ nữa 

đã fix

[chardhdmovies]

Bài 6 mình làm bù trừ, không hiểu sao sai đáp số

Đặt $x_1=x-50, z_1=z-50, z_2=z-101$

Ta có $x_1+y+z_1=1965 (1), x_1+y+z_2=1865 (2)$

Gọi $A$ là tập các nghiệm tự nhiên của $(1)$ thỏa $y_1 \leq 100, x_1,z_1 \geq 0$

Gọi $B$ là tập các nghiệm tự nhiên của $(2)$ thỏa $y_1 \leq 100, x_1,z_2 \geq 0$

Với mỗi $y_0$ từ $0-100$ thì số cách chọn $x_1,z_1$ là $C^{1}_{1965-y_0+2-1}$

Suy ra $|A|=1966+1965+....+1866$

Tương tự $|B|=1865+...+1765$

Gọi $C$ là tập các nghiệm thỏa đề thì theo bù trừ, ta có:

$|C|=|A|-|B|=10201$

 

Spoiler

cần 1 bạn tìm hộ mình chỗ sai

sai chỗ này

[Bui Ba Anh]

sai chỗ này

Ghi nhầm mất, cái này là 1864, nhưng đâu đủ để lệch đáp số lớn vậy đâu

[pdtienArsFC]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12-VÒNG 1

 

Bài 5(3 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số chính phương

 

 

- Quy nạp: $14x_{n+1}.x_n=x_{n+1}^2+x_n^2+1-2x_{n+1}-x_n$ (1)

- Giả sử bài toán đúng đến $x_{n+1}$, ta sẽ chứng minh bài toán đúng với $x_{n+2}$

Khi đó $\sqrt{x_{n+1}};\sqrt{x_{n}}$ đều là các số tự nhiên

- Sử dụng (1), biến đổi, ta đc: $x_{n+2}=(4\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_{n}})^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pdtienArsFC: 22-09-2015 - 20:31

[an1712]

muốn trình bày câu bất nhưng nút latex hỏng ai biết sửa ko

[an1712]

trong các số a-1, b-1, c-1 theo diriclet tồn tại 2 số cùng dấu

ko mất tính tổng quát : $(a-1)(b-1)\geq 0$

ta có: $(a+bc)^2+(b+ac)^2\geq \frac{(c+1)^2(a+b)^2}{2}$

          

           $\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{2}+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(c+1)(a+b)(c+ab)$

         

            $ bđt\Leftrightarrow (c+1)(c+ab)\geq (b+c)(a+c)\Leftrightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

[anhtunu98]

Bài 3: Ta có : $x.P(x^{2}+x)+Q(x^{3})= x.$ $(P(x^{2}+x)-P(-1))+Q(x^{3})-Q(1)+Q(1)+x.P(-1)$ Mà $Q(x^{3})-Q(1) \vdots (x^{3}-1) \vdots (x^{2}+x+1) (P(x^{2}+x)-P(-1)) \vdots (x^{2}+x+1)$ Nên $Q(1)+ x.P(-1)\vdots (x^{2}+x+1)$ Mà $deg (Q(1)+x.P(-1))=1 và deg (x^{2} + x +1) = 2$ nên $Q(1)= P(-1) = 0 $ Áp dụng định lí Bezout $P(x) \vdots (x+1) \rightarrow P(x)=(x+1)G(x)$ $Q(x) \vdots (x-1) \rightarrow Q(x)= (x-1) H(x)$ $G(x), H(x)\in \mathbb{Z}[x]$ $=> P(2014)=2015.G(x) \vdots 2015$ $ Q(2016)= 2015. H(x) \vdots 2015 => đpcm (Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtunu98: 22-09-2015 - 22:57

[pdtienArsFC]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12-VÒNG 1

Bài 1(4 điểm)

Giải phương trình $:x^2-x-6=(2^x+1)\left ( 2^{\frac{x}{2}}+1 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2 \right )$

 

 

Cho mình hỏi là chỗ này +2 hay +1 nhé, cảm ơn.

[Cetus]

BĐT lấy của THTT ak???    

[nukata123]

- Quy nạp: $14x_{n+1}.x_n=x_{n+1}^2+x_n^2+1-2x_{n+1}-x_n$ (1)

- Giả sử bài toán đúng đến $x_{n+1}$, ta sẽ chứng minh bài toán đúng với $x_{n+2}$

Khi đó $\sqrt{x_{n+1}};\sqrt{x_{n}}$ đều là các số tự nhiên

- Sử dụng (1), biến đổi, ta đc: $x_{n+2}=(4\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_{n}})^2$

Làm sao có được (1) thế bạn?. Quy nạp bằng cáh nào bạn có thể viết rõ hơn được k 

[pdtienArsFC]

Làm sao có được (1) thế bạn?. Quy nạp bằng cáh nào bạn có thể viết rõ hơn được k 

À, bạn chỉ cần thay $x_{n+1}=14x_n-x_{n-1}+2$, ta sẽ đc hệ thức tương tự hệ thức quy nạp. OK   

[an1712]

- Quy nạp: $14x_{n+1}.x_n=x_{n+1}^2+x_n^2+1-2x_{n+1}-x_n$ (1)

- Giả sử bài toán đúng đến $x_{n+1}$, ta sẽ chứng minh bài toán đúng với $x_{n+2}$

Khi đó $\sqrt{x_{n+1}};\sqrt{x_{n}}$ đều là các số tự nhiên

- Sử dụng (1), biến đổi, ta đc: $x_{n+2}=(4\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_{n}})^2$

mình nghĩ đây là kĩ thuật, bạn chia sẻ đc ko