Đến nội dung


Hình ảnh

Chọn đội tuyển HSG quốc gia 2015-2016 PTNK( ngày 1)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 22-09-2015 - 20:39

Mình không có thời gian đánh Latex, mong các bạn thông cảm.

Nguồn: Facebook.

Hình gửi kèm

  • 12039711_1065491880142001_6084105166590213846_n.jpg

                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 23-09-2015 - 18:01

Câu hình a) $\angle BDC=\angle BDI+\angle CDI=\angle ABC+\angle ACB=180^\circ-\angle BAC$. Từ đó $ABDC$ nội tiếp. Vậy $\angle IDC=\angle ACB=\angle BDA$ hay $DA$ là đối trung của tam giác $DBC$ vậy $AD$ là đối trung của tam giác $ABC$. Từ đó $\angle BID=\angle IDC+\angle ICD=\angle ACB+\angle BAD=\angle ACB+\angle IAC=\angle BIA$. Từ đó $IO$ là phân giác ngoài góc $DIA$ với O là tâm đường tròn k. Mà O thuộc trung trực $AD$, từ đó $DIOA$ thuộc một đường tròn.

 

Câu b) trông hơi lạ $(E)$ tiếp xúc $AB$ tại $A$ nên $EA\perp AB$, $(F)$ tiếp xúc $AC$ tại $A$ nên $FA\perp AC$ do $\angle BAC$ không đổi nên rõ ràng $\angle EAF$ không đổi ?



#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 24-09-2015 - 15:37

Bài 3:

 

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:$f(x-2f(y))=5f(x)-4x-2f(y)\left ( \forall x,y\in\mathbb{R} \right )(1)$

 

Thay $x=y=0$ và phương trình $(1)$:

 

$f(-2f(0))=5f(0)-2f(0)\Leftrightarrow f(-2f(0))=3f(0)(2)$

 

Thay $x=0$ và $y=-2f(0)$ vào PT (1) và sử dụng KQ $(2)$ ta có $f(-6f(0))=-f(0)(3)$

 

Thay $y=-6f(0)$ vào PT (1) và sử dụng KQ $(3)$  ta có:$f(x+2f(0))=5f(x)-4x+2f(0)\forall x\in\mathbb{R}(4)$

 

Từ $(4)$ thay $x=-2f(0)$ và sử dụng $(2)$ ta có:$f(0)=5f(-2f(0))+10f(0)\Leftrightarrow f(0)=25f(0)\Leftrightarrow f(0)=0$

 

Từ đây chỉ cần thay $y=0$ và phương trình $(1)$ ta tính được $f(x)=x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-09-2015 - 15:39


#4 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 24-09-2015 - 16:55

 Ngày 2 :

 

 Bài 1 : Dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_n=\frac{1}{n.\cos \left ( \frac{1}{n} \right )}$, $\forall n\in \mathbb{N}$\$\left \{ 0 \right \}$

       Tìm $\lim \frac{x_1+x_3+x_5+...+x_{2n-1}}{x_2+x_4+x_6+...+x_{2n}}$

 Bài 2 : Với những giá trị nào của $b$ thì tồn tại $a$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm :

$$\left\{\begin{matrix} (x-1)^2+(y+1)^2=b\\ y=x^2+(2a+1)x+a^2 \end{matrix}\right.$$

 Bài 3 : Cho $n$ là số nguyên dương, $n\geq 2$ và $X=\{ 1;2;3;...;n\}$. $A_1;A_2;...;A_m$ và $B_1;B_2;...;B_m$ là hai dãy các tập con khác rỗng của X thỏa mãn điều kiện : Với mọi $i$ và $j$ thuộc $\{1;2;...;m\}$, $A_i\cap B_j=\not O$ nếu và chỉ nếu $i=j$.

           a) Chứng minh rằng với mỗi hoán vị $(x_1,x_2,...,x_n)$ của X, có không quá một cặp $(A_i;B_i)$ với $i\in \{1;2;...;m\}$ sao cho nếu $x_k\in A_i$ và $x_l\in B_i$ thì $k<l$

           b) Gọi $a_i,b_i$ lần lượt là số phần tử của các tập $A_i;B_i$.

               Chứng minh rằng : $\sum _{i=1}^m \frac{1}{\textrm{C}^{a_i}_{a_i+b_i}}\leq 1$

 Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (I) qua B và C lần lượt cắt BA, CA tại E, F.

           a) Giả sử các tia BF, CE cắt nhau tại D và T là tâm (AEF). Chứng minh $OT//ID$

          b) Trên BF, CE lần lượt lấy các điểm G, H sao cho $AG\perp CE$ và $AH\perp BF$. Các đường tròn (ABF), (ACE) cắt BC tại các điểm M, N ( khác B và C ) và cắt EF tại P, Q ( khác E và F ). Gọi K là giao điểm MP và NQ. Chứng minh $DK\perp GH$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-09-2015 - 17:16


#5 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 27-09-2015 - 14:44

Mình không có thời gian đánh Latex, mong các bạn thông cảm.

Nguồn: Facebook.

2a

áp dụng bđt BCS ta có

$(12a^{2}+6b^{2}+4c^{2}+3d^{2})(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})$$\geq (a+b+c+d)^{2}$

mà  

$(12a^{2}+6b^{2}+4c^{2}+3d^{2})$$=(3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a^{2}+b^{2})+6a^{2}$ $\leq 120$

nên$( a+b+c+d) \leq 10$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 27-09-2015 - 14:47


#6 UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM
  • Sở thích:Toán học, Vật Lý học, Tâm Lý học, Âm nhạc

Đã gửi 06-07-2016 - 18:13

Bài 1, ngày 2:
Trước hết, ta CM bổ đề:
"Cho $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n}$. Khi đó $\lim a_n = +\infty$"
Cách CM tham khảo tại: https://en.m.wikiped...s_(mathematics)

Trở lại bài toán.
Đặt $u_n = x_1 + x_3 + ... + x_{2n-1}$, $v_n = x_2 + x_4 + .... + x_{2n}
\Rightarrow v_n > \dfrac{a_n}{2}
\Rightarrow (v_n)$ là dãy tăng và $\lim v_n = +\infty$
Lại có: $\lim \dfrac{u_{n+1} - u_n}{v_{n+1} - v_n} = \lim \dfrac{x_{2n+1}}{x_{2n+2}} = lim \dfrac{2n+2}{2n+1}. \dfrac{cos(\dfrac{1}{2n+2})}{cos(\dfrac{1}{2n+1})} = 1 \Rightarrow \lim \dfrac{u_n}{v_n} = 1$ (Định lý Stolz)
Vậy giới hạn cần tìm là 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 06-07-2016 - 21:20


#7 UphluMuach

UphluMuach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM
  • Sở thích:Toán học, Vật Lý học, Tâm Lý học, Âm nhạc

Đã gửi 07-07-2016 - 20:52

Bài 1, ngày 1:
Phát biểu lại đề bài như sau: tìm số các số nguyên $a \in A$ là số dư chính phương $\pmod{2016}$.

Ta có bổ đề sau: (CM bổ đề tương đối đơn giản, sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa)
"Cho $a$ là số dư chính phương theo các modulo $n_1, n_2,..., n_k$ và $(n_i; n_j) =1 \forall 1 \le i, j \le k, i \ne j$. Khi đó a là số dư chính phương modulo $n_1n_2...n_k$."

Trở lại với bài toán ban đầu, ta có: $2016 = 2^5.3^2.7 (= 32.9.7)$
Gọi $A_p$ là tập hợp các số dư chính phương modulo $p$, ta có:
$A_{32} =$ {$1; 9; 17; 25$}
$A_9 =$ {$1; 4; 7$}
$A_7 =$ {$1; 2; 4$}
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa và bổ đề trên, có $4.3.3 = 36$ số chính phương modulo $2016$.
Vậy số các số $a$ cần tìm là $36$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 07-07-2016 - 21:21


#8 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 08-07-2016 - 22:13

Lời giải cho bài 4, ngày 2:

a) Gọi $V$ là giao điểm của $(AEF)$ với $(O)$. Vẽ đường kính $AL$ của $(O)$ cắt $(AEF)$ tại $S$ khác $A \Rightarrow$ $A$, $S$, $T$ thẳng hàng. Qua $T$ lấy $I'\in VL$ sao cho $TI'//AL$. Ta có $\widehat{OAC}+\widehat{AFE}=90^{o}-\frac{\widehat{BOC}}{2}+\widehat{ABC}=90^{o}$ nên $OA\bot EF$. Nên ta có $I'$ nằm trên trung trực $EF$. Mặt khác, do $OI'$ là đường trung bình của $\Delta ASL$ nên $I'$ cũng nằm trên trung trực $BC\Rightarrow I'\equiv I$. Do đó $I\in VL$. 

$VL$ lần lượt cắt $EF$ và $BC$ tại $X$ và $Y$. Bằng việc sử dụng trục đẳng phương, ta có $AV$, $EF$, $BC$ đồng qui (gọi điểm đó là $U$). Từ đó, ta cũng có được $X$ là trực tâm $\Delta AUL$ nên $AX$ cắt $UL$ tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$ (gọi điểm này là $Z$).

Ta có $(FEXU)=(EFUX)=A(BCVZ)=L(BCVZ)=(BCYU)$ nên $BF$, $CE$, $XY$ đồng qui tại D nên ta có $đpcm$.

 

b) Ta có $\widehat{BCE}=\widehat{BEP}=\widehat{BMP}$ nên $PM//CE$.Tương tự, $QN//BE$. Do đó, $\widehat{PMN}=\widehat{BFE}=\widehat{PQN}$ nên $PNMQ$ nội tiếp$\Rightarrow \overline{KM}.\overline{KP}=\overline{KN}.\overline{KQ}$ nên $K$ thuộc trục đẳng phương của $(ABF)$ và $(ACE)$. Mà ta dễ dàng chứng minh được $A$ và $D$ cũng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn này nên $A$, $D$, $K$ thẳng hàng. Do đó $D$ là trực tâm $\Delta AGH$ nên $DK\bot GH$

Hình gửi kèm

  • geogebra-export (3).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 08-07-2016 - 22:16

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#9 moonkey01

moonkey01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Hình học, Số học

Đã gửi 03-08-2016 - 13:30

Lời giải cho bài 4, ngày 2:

a) Gọi $V$ là giao điểm của $(AEF)$ với $(O)$. Vẽ đường kính $AL$ của $(O)$ cắt $(AEF)$ tại $S$ khác $A \Rightarrow$ $A$, $S$, $T$ thẳng hàng. Qua $T$ lấy $I'\in VL$ sao cho $TI'//AL$. Ta có $\widehat{OAC}+\widehat{AFE}=90^{o}-\frac{\widehat{BOC}}{2}+\widehat{ABC}=90^{o}$ nên $OA\bot EF$. Nên ta có $I'$ nằm trên trung trực $EF$. Mặt khác, do $OI'$ là đường trung bình của $\Delta ASL$ nên $I'$ cũng nằm trên trung trực $BC\Rightarrow I'\equiv I$. Do đó $I\in VL$. 

$VL$ lần lượt cắt $EF$ và $BC$ tại $X$ và $Y$. Bằng việc sử dụng trục đẳng phương, ta có $AV$, $EF$, $BC$ đồng qui (gọi điểm đó là $U$). Từ đó, ta cũng có được $X$ là trực tâm $\Delta AUL$ nên $AX$ cắt $UL$ tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$ (gọi điểm này là $Z$).

Ta có $(FEXU)=(EFUX)=A(BCVZ)=L(BCVZ)=(BCYU)$ nên $BF$, $CE$, $XY$ đồng qui tại D nên ta có $đpcm$.

 

 

Câu a có thể làm ngắn gọn hơn: 

 

Gọi $V$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ với $(O)$ như trên thì dễ chỉ ra $AV$, $EF$, $BC$ đồng quy. Theo định lý Brokard thì $ID \perp AV$, lại có $OT \perp AV$ do $AV$ là dây chung của $(O)$ và $(T)$ nên $OT \parallel ID$.



#10 Min Nq

Min Nq

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 18-09-2016 - 21:43

Bài 2b, ngày 1

 

$A= ad+bc\Rightarrow 24A=2(3.4a.d+2.3b.2c)\leq 3(16a^2+d^2)+2(9b^2+4c^2)=30a^2+10(a^2+b^2)+5(a^2+b^2+c^2)+3(a^2+b^2+c^2+d^2)\leq 240\Rightarrow A\leq 10$ (đpcm)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh