Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển KHTN Vòng II


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2015 - 20:54

Ngày thi 3

 

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

 

Bài 2: Tìm tất cả n nguyên dương sao cho $3^n+4^n+5^n\mid 60^n$

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

Bài 4: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\sqrt{\frac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\frac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\frac{z^2x}{4z+5x}}$

 

Ngày thi 4

 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1)f(y^2)=y(xy)-yf(y)$ 

 

Bài 2: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a_0=a_1=5\\ a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}+44 \end{matrix}\right.$

CMR: $a_n$ là tổng 2 số chính phương 

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt đoạn $AC,AB$ tại $E,F$. $M,N$ đối xứng $B,C$ lần lượt qua $E,F$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(AMN)$ cắt $MN,BC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm của $PQ$

 

Bài 4: Cho bảng $n\times n$ $(n\in N^*)$ và số $k\leqslant n$ Điền vào các ô trong bảng $n\times n$ các số thực thuộc đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng các số trên mỗi bảng con $k\times k$ bằng $0$. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $n\times n$


Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !


#2 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 22-09-2015 - 22:34

Ngày thi 4

 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1)f(y^2)=y(xy)-yf(y)$ (1)

 

 

 

+, f hằng: $f\equiv 0$

+, f không hằng:

Thay $x=1$ vào (1), ta có: $f(0).f(y^2)=0$

Do đó: $f(0)=0$

Thay $x=0$ vào (1), ta có: $f(-1)f(y^2)=-yf(y)$ (2)

Thay $y=-1$ vào (2), ta có: $f(-1).f(1)=f(-1)$

                                   $f(1)=1$(t/m) hoặc $f(-1)=0$(loại do (2))

Thay $y=1$ vào (1), ta có: $f(x-1)=f(x)-1$ (3)

Do đó: $f(-1)=-1$ và (2) trở thành: $f(y^2)=yf(y)$ (4)

Thế (3), (4) vào (1), ta có: $f(x).f(y)=f(xy)$ (5)

Thay $x=y$ vào (5), ta có: $f^2(x)=f(x^2)=xf(x)$ nên $f(x)=x$.

        


                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#3 MiuraHaruma

MiuraHaruma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 24-09-2015 - 00:43


Tìm tất cả $n$ nguyên dương sao cho $60^n \vdots 3^n+4^n+5^n$

Do $60^n=3^n.2^{2n}.5^n$ nên $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y.5^z$ với $x, y, z$ nguyên dương và $x, z \leq n, y \leq 2n$

$1,$ Nếu $x, z \geq 1$ thì $4^n+5^n \vdots 3 (1)$, đồng thời $4^n+3^n \vdots 5 (2)$.
Khi đó, từ $(1)$ thì $n$ lẻ, tức là $4^n+3^n \equiv (-1)+3.(-1)^k \equiv -4,2 (mod$$5)$, mâu thuẫn.
Vậy $x$ hoặc $z$ bằng $0$.

$2,$ Nếu $x=0$ thì $3^n+4^n+5^n=2^y.5^z$
Từ đó, ta có: $3^n+4^n \vdots 5$ tức $n=4k+2$ $\Rightarrow$ $3^n+5^n \equiv 2 (mod 4)$. Vậy $y=1$. Thay vào thì: $3^n+4^n+5^n=2.5^z$ với $n=4k+2$:
Ta có: $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(2k+1)$. Từ đó $v_5(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n, 2+v_5(2k+1)} \Leftrightarrow z=n$ hoặc$ z=2+v_5(2k+1)$
- Nếu $z=n$ thì $3^n+4^n=5^n$. Phương trình chỉ có nghiệm với $n=2$ theo định lý Fermat lớn.
- Nếu $z=v_5(2k+1)+2$ thì $n=2.5^z.b$ với $(b,5)=1, b>0$. Nhân 2 vế phương trình với $2b$ thì $b(3^n+4^n+5^n)=25n$. Dễ thấy, VT $>$ VP khi $n \geq 3$. Tức pt vô nghiệm

$3,$ Nếu $z=0$ thì $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y$
- Dễ dàng suy ra được $n$ lẻ
- Ta chứng minh $3^n+5^n$ không chia hết cho $16$ với n lẻ. Thật vậy:
$3^{4k+r}+5^{4k+r} \equiv 81^k.3^r+625^k.5^r \equiv 3^r+5^r \equiv 8$ (mod 16). Mà $3^n+5^n \vdots 8$ nên $v_2(3^n+5^n)=3 \Rightarrow v_2(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n; 3}$
+ Nếu $n \leq 3$ thì $n=1, n=3$ thoả mãn
+ Nếu $n >3$ thì $y=3$. Thay vào, $3^n+4^n+5^n=8.3^x$
Tương tự trên, ta tính được $x=v_3(n)+2$ hoặc $x=n$
a, Nếu $x=n$ tức $n \leq v_3(n)+2$ tức $n \leq 3$
b, Nếu $x=v_3(n)+2$ thì $c(3^n+4^n+5^n)=72n$. Phương trình này có VT $>$ VP nếu $n>3$.

Kết luận: $n=1$ hoặc $n=3$ hoặc $n=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiuraHaruma: 24-09-2015 - 20:33

"Every saint has a past, every sinner has a future"

#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-09-2015 - 06:29

Do $60^n=3^n.2^{2n}.5^n$ nên $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y.5^z$ với $x, y, z$ nguyên dương và $x, z \leq n, y \leq 2n$

$1,$ Nếu $x, z \geq 1$ thì $4^n+5^n \vdots 3 (1)$, đồng thời $4^n+3^n \vdots 5 (2)$.
Khi đó, từ $(1)$ thì $n$ lẻ, tức là $4^n+3^n \equiv (-1)+3.(-1)^k \equiv -4,2 (mod$$5)$, mâu thuẫn.
Vậy $x$ hoặc $z$ bằng $0$.
 

Mình nghĩ là chỗ này nên xét thêm $x=z=0$ nữa.

 

 

$2,$ Nếu $x=0$ thì $3^n+4^n+5^n=2^y.5^z$
Từ đó, ta có: $3^n+4^n \vdots 5$ tức $n=4k+2$ $\Rightarrow$ $3^n+5^n \equiv 2 (mod 4)$. Vậy $y=1$. Thay vào thì: $3^n+4^n+5^n=2.5^z$ với $n=4k+2$:
Ta có: $v_5(3^n+4^n)=v_5(n)+v_5(9)=v_5(n)$. Từ đó $v_5(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n, v_5(n)} \Leftrightarrow z=n$ hoặc$ z=v_5(n)$

Chỗ này bạn sử dụng bổ đề LTE không đúng, nên là $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(n)=2+v_5(n)$. Khi đó hoặc $z=n<v_5(n)+2$ hoặc $z=v_5(n)+2<n$ hoặc $v_5(n)+2=n$.

 

 

$3,$ Nếu $z=0$ thì $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y$
- Dễ dàng suy ra được $n$ lẻ
- Ta chứng minh $3^n+5^n$ không chia hết cho $16$ với n lẻ. Thật vậy:
$3^{4k+r}+5^{4k+r} \equiv 81^k.3^r+625^k.5^r \equiv 3^r+5^r \equiv 8$ (mod 16). Mà $3^n+5^n \vdots 8$ nên $v_2(3^n+5^n)=3 \Rightarrow v_2(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n; 3}$

Bổ đề LTE hoàn toàn có thể áp dụng để chứng minh $v_2(3^n+5^n)=3$ với $n$ lẻ.


“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#5 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 24-09-2015 - 15:19

 

 

Bài 4: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\sqrt{\frac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\frac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\frac{z^2x}{4z+5x}}$

 

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta được:

 

$$\mathbb{VT}^2\leq \left ( \sum xy \right )\left ( \sum \frac{x}{4x+5y} \right )$$

 

Ta đưa bài toán về chứng minh:

 

$$\left ( \sum xy \right )\left ( \sum \frac{x}{4x+5y} \right )\leq \frac{1}{9}$$

 

hay $q\left ( \frac{x}{4x+5y}+\frac{y}{4y+5z}+\frac{z}{4z+5x} \right )\leq \frac{1}{9}$

 

Trong đó:$q=xy+yz+xz,0< q\leq \frac{1}{3}$.Mặt khác cũng theo BĐT $C-S$ ta có:

 

$4\sum \frac{x}{4x+5y}=3-5\sum \frac{y}{4x+5y}\leq 3-\frac{5(x+y+z)^2}{4(xy+yz+xz)+5(x^2+y^2+z^2)}=3-\frac{5}{5-6q}=\frac{10-18q}{5-6q}$

 

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:$\frac{q(5-9q)}{2(5-6q)}\leq \frac{1}{9}\Leftrightarrow (1-3q)(10-27q)\geq 0$ (Luôn đúng vì $q\leq \frac{1}{3}$)

 

BĐT được chứng minh $\blacksquare$



#6 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 24-09-2015 - 15:47

câu 1

 

Ngày thi 3

 

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

 

 

dễ chứng minh $ a_{n}<0 $ với n>0

xét hàm:$f(x)=\frac{-3}{7}((x+1)^{\frac{3}{2}}+x^3)$

=> $f'(x)=-\frac{3}{7}(3x\sqrt{x^2+1}+3x^2)< 0$ với x<0

=> dãy  $ a_{n} $ đơn điệu 

mà  $a_{1}<a_{2}<....$

nên dãy $a_{n}$ tăng với n>0

mà $a_{n}\frac{-3}{7}$

=> đpcm

b) giải phương trình giới hạn, nhưng mình làm chưa ổn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 24-09-2015 - 15:49

tiến tới thành công  :D


#7 MiuraHaruma

MiuraHaruma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 24-09-2015 - 20:30

 Chỗ này bạn sử dụng bổ đề LTE không đúng, nên là $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(n)=2+v_5(n)$. Khi đó hoặc $z=n<v_5(n)+2$ hoặc $z=v_5(n)+2<n$ hoặc $v_5(n)+2=n$

Cảm ơn Toàn, mình cũng ms phât hiện lỗi sai này lúc sáng :D

 Bổ đề LTE hoàn toàn có thể áp dụng để chứng minh $v_2(3^n+5^n)=3$ với $n$ lẻ.

Lúc bọn mình học thầy không nhắc đến $v_2(x^n+y^n)$ mà chỉ có $v_2(x^n-y^n)$ nên mình nghĩ là trường hợp đó không sử dụng LTE được :P
"Every saint has a past, every sinner has a future"

#8 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 24-09-2015 - 22:58

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

Loay hoay mãi mới được câu $a$. 

                                                                     

Lời giải : 

a, Qua $E,F$ kẻ các đường thẳng song song $AB,AC$. Hai đường thẳng này cắt $AK,AL$ lần lượt tại $D,J$ 

Gọi $H\equiv ED \cap FK$, $O \equiv EL \cap FJ$ 

Ta có $\angle BFH=\angle EHF=180^o-\angle HEF-\angle HFE=180^o- \angle FAE-\angle AFE=\angle AEF=\angle EFO$

Tương tự $\angle FEO=\angle CEH$

Suy ra $\angle BAH=\angle CAO$ (tính chất đẳng giác)

$\Rightarrow \bigtriangleup FAO\sim \bigtriangleup EAH(g.g)$

$\Rightarrow \frac{FA}{FO}=\frac{EA}{EH}$

$\frac{DE}{HE}=\frac{AB}{FB}=\frac{AC}{EC}=\frac{FJ}{FO}$

Từ 2 điều trên suy ra $\frac{DE}{AE}=\frac{JF}{AF}$

$\Rightarrow \bigtriangleup AED \sim \bigtriangleup AFJ(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle KAE=\angle LAF\Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 27-09-2015 - 10:47

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#9 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 26-09-2015 - 01:19

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

 

Mình xin phép làm bài hình:

ý a, ( khá đơn giản nên mạn phép không vẽ hình)  Kéo dài $ BE $, $CF$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $ P,Q$ khi đó thì chỉ cần phát hiện ra  các tứ giác $ PQKL$, $AFKP$ và $AELQ$ nội tiếp là ta có điểu phải chứng minh.

b,

 Đây là lời giải của mình cho câu b:
Gọi $ T $ là giao điểm 2 tiếp tuyến tại $ B,C $ của đường tròn $ (ABC) $, $ J $ là trung điểm $ BC $. $ R $ là điểm đối xứng của $ T $ qua $ J $. Từ $ EF||BC $ nên $ A,Y,T $ thẳng hàng, $ A,X,J $ thẳng hàng và $ EY|| CT $, tức $ \frac{EA}{EC}=\frac{YA}{YT} $.
Lại theo định lý menelaus cho tao giác $ AJC $ cát tuyến $ B,X,E $ ta có:
$ \frac{XA}{XJ}.\frac{BJ}{BC}.\frac{EC}{EA}=1 $. 
Như vây ta thu được:
$ \frac{XZ}{XJ}.\frac{YA}{YT}=2 $, từ đây theo menelaus cho tam giác $ AJT $ thì $ X,Y,R $ thẳng hàng, hay $ XY $ luôn đi qua $ R $ cố định.

Hình gửi kèm

  • ScreenHunter_43 Sep. 26 01.04.jpg


#10 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-09-2015 - 08:06

Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề :D!



#11 MiuraHaruma

MiuraHaruma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 26-09-2015 - 16:38

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.
(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

b, Gọi giao điểm $XY$ và $BC$ là $I$. Ta sẽ chứng minh $AI$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$.
Thật vậy, dễ thấy hình thang $FMNE$ cân. Gọi $K$ là giao điểm $XY$ và $EF$ thì theo định lý Talet:
$\frac{IC}{IB}=\frac{KF}{KE}=\frac{IM}{IN}=\frac{sin\widehat{MYI}}{sin\widehat{NYI}}$(do $IM=IN$)$=\frac{sin\widehat{MFC}.FX.XY}{sin\widehat{NEB}.XE.XY}=\frac{sin\widehat{FMC}.MC.XF.BE}{sin\widehat{BNE}.FC.NB.XE}=\frac{MC}{NB}$ (do $MN$ song song với $EF$)
Mặt khác,$ \Delta MEC \sim \Delta NBF$ nên $\frac{NB}{ME}=\frac{NF}{MC}=\frac{BF}{CE}$ $\Rightarrow$ $ME^2=NB.MC$ $\Rightarrow$ $\frac{MC}{NB}=\frac{NB.MC}{NB^2}=\frac{ME^2}{NB^2}=(\frac{CE}{BF})^2=(\frac{AC}{AB})^2$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiuraHaruma: 26-09-2015 - 16:42

"Every saint has a past, every sinner has a future"

#12 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 26-09-2015 - 17:51

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

Câu b           

                                                                  12053090_1632034467057754_733150709_n.jp

 

Gọi $R$ là giao của $FN$ và $EM$,$I$ là giao của $AR$ và $BC$. Dễ thấy $AI$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. Ta cần chứng minh $X,Y,I$ thẳng hàng.

Lấy $K$ là giao của $AR$ và $EF$. 

Ta có các kết quả sau : 

$\frac{XC}{XF}=\frac{BC}{EF},$ 
 
$\frac{YF}{YM}=\frac{EF}{MN},$
 
$\frac{IM}{KE}=\frac{MN}{EF}\Rightarrow \frac{IM}{IC}=\frac{MN.KE}{EF.IC}=\frac{MN.EF}{EF.BC}=\frac{MN}{BC}$
 
Suy ra $\Rightarrow \frac{XC}{XF}.\frac{YF}{YM}.\frac{IM}{IC}=1$
Suy ra $X,Y,I$ thẳng hàng (Menelaus) $\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 26-09-2015 - 17:53

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#13 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-09-2015 - 23:20

Đáp án đã công bố trên AoPS http://artofproblems...and_fixed_point

 

Sau đây là bản tiếng Việt

 

a) Gọi $BE,CF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $S,T$. Ta có $\angle BFN=180^\circ-\angle NFE-\angle EFA=180^\circ-\angle BAC-\angle ABC=\angle ACB=\angle ASB$. Từ đó tứ giác $AFKS$ nội tiếp, ta suy ra $\angle KAB=\angle FSE$. Tương tự $\angle LAC=\angle FTE$. Mặt khác $\angle FEB=\angle EBC=\angle STF$. Từ đó tứ giác $EFTS$ nội tiếp. Suy ra $\angle KAB=\angle FSE=\angle FTE=\angle LAC$. Ta có điều phải chứng minh.
   
b) Từ tính chất góc của tiếp tuyến ta dễ có $\angle BFN=\angle ECM,\angle CEM=\angle FBN$. Vậy các tam giác $FBN$ và $CEM$ đồng dạng. Chú ý $FN=EM$ nên $\dfrac{BN}{CM}=\dfrac{BN}{ME}.\dfrac{FN}{CM}=\dfrac{FB}{EC}.\dfrac{FB}{EC}=\dfrac{FB^2}{EC^2}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$. Gọi $XY$ cắt $BC$ tại $P$. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $FMC$ với $X,Y,P$ thẳng hàng ta có $\dfrac{PM}{PC}.\dfrac{XC}{XF}.\dfrac{YF}{YM}=1$. Tương tự áp dụng Menelaus cho tam giác $ENB$ với $X,Y,P$ thẳng hàng ta có $\dfrac{PN}{PB}.\dfrac{XB}{XE}.\dfrac{YE}{YN}=1$. Ta lại chú ý do $EF\parallel BC$ nên $\dfrac{XC}{XF}=\dfrac{XB}{XE}$ và $\dfrac{YF}{YM}=\dfrac{YE}{YN}$. Từ đó ta thu được $\dfrac{PM}{PC}=\dfrac{PN}{PB}$ hay $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{PC}{PB}=\dfrac{PC-PM}{PB-PN}=\dfrac{CM}{BN}=\dfrac{AC^2}{AB^2}$ không đổi nên $P$ cố định. Từ đó $XY$ đi qua $P$ cố định.

Hình gửi kèm

  • Fig20.png


#14 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 27-09-2015 - 23:56

Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề :D!

Vâng ạ, hì. Ngại quá, tự nhiên thế còn đọc nhầm đề.
Em xin phép up lời giải cho bài trên ạ ( Lần này chắc không nhầm đề nữa, hì )


Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề :D!

Vâng ạ, hì. Ngại quá, tự nhiên thế còn đọc nhầm đề.
Em xin phép up lời giải cho bài trên ạ ( Lần này chắc không nhầm đề nữa, hì )

Hình gửi kèm

  • 12027739_417762278421117_2141625132967369926_n.jpg


#15 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 28-09-2015 - 07:59

Ổn rồi Thế, nhưng nhầm mà lại phát hiên ra một bài mới hay, thì rất đáng nhầm :D!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh