Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển HSG Quảng Bình 2015-2016 ngày 1 và 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 23-09-2015 - 13:03

Đề chọn đội tuyển HSG Quảng Bình 2015-2016 ngày 1

 

 Bài 1 : Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

 Bài 2 : Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_1=2\\ x_{n+1}=\displaystyle{\frac{x_n^4+2014x_n+1}{x_n^3-x_n+2016}} \end{matrix}\right.$

  a) Chứng minh $\lim x_n=+\infty $

  b) Với $\forall~n\in \mathbb{N^*}$, đặt $y_n=\sum _{k=1}^n \frac{1}{x_k^3+2015}$, tìm $\lim y_n$

 Bài 3 : Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC$ nội tiếp trong đường tròn $(\omega )$ tâm O bán kính R, đường tròn $(\omega_1)$ tâm $I_A$ bán kính $R_A$ tiếp xúc với đường tròn $(\omega )$ tại T và với cạnh AB, AC tại E,F. Phân giác $\widehat{BAC}$ cắt $(\omega )$ tại $M\neq A$, BC cắt EF ở X.

   a) Tính $\frac{CF}{CT}$ theo $R$ và $R_A$

   b) Chứng minh $\overline{M,X,T}$

 Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

   i) $f(x)+x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$

   ii) $f(f(x)+x)=6x$

   iii) $f(1)=2$

           ---------------------------------------------------------------------------------

                 Không sử dụng máy tính cầm tay 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 23-09-2015 - 13:05


#2 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 23-09-2015 - 14:24

Đề chọn đội tuyển HSG Quảng Bình 2015-2016 ngày 1

 

 Bài 1 : Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

 

 Bài 1: Đặt: $a=\sqrt{x};b=\sqrt{y}$ thì hệ PT trở thành:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}a\left (1+\displaystyle{\frac{1}{a^2+b^2}}\right )=2\\ \sqrt{7}b\left (1-\displaystyle{\frac{1}{a^2+b^2}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} a\sqrt{3}+\frac{a\sqrt{3}}{a^2+b^2}=2 & \\ b\sqrt{7}-\frac{b\sqrt{7}}{a^2+b^2}=4\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Ở phương trình thứ nhất, ta biến đổi về dạng:

$a+\frac{a}{a^2+b^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Phương trình thứ 2: 

$b.i-\frac{b.i}{a^2+b^2}=\frac{4\sqrt{2}.i}{\sqrt{7}}$

Từ 2 phương trình trên ta có:

$a+b.i+\frac{a-b.i}{a^2+b^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4\sqrt{2}.i}{\sqrt{7}}$

Đặt $m=a+b.i$ thì:

$m+\frac{1}{m}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{4\sqrt{2}.i}{\sqrt{7}}$

Từ đó giải phương trình bậc 2 (đơn giản)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 23-09-2015 - 14:25

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#3 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 23-09-2015 - 14:27

  Bài 1 :

 Điều kiện : $x+y\neq 0$

 Dễ thấy $x+y\neq \pm 1$

 Bình phương 2 phương trình của hệ ta thu được :

 $\left\{\begin{matrix} 3x\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )^2=4\\ 7y\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )^2=32 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\displaystyle{\frac{4(x+y)^2}{3(1+x+y)^2}}\\ y=\displaystyle{\frac{32(x+y)^2}{7(x+y-1)^2}} \end{matrix}\right.$

 Cộng 2 phương trình ta được : 

 $x+y=\frac{4(x+y)^2}{3(1+x+y)^2}+\frac{32(x+y)^2}{7(x+y-1)^2}$

 Đặt $t=x+y$ với $t\neq 0;\pm 1$ ta có :

 $t=\frac{4t^2}{3(t+1)^2}+\frac{32t^2}{7(t-1)^2}\Leftrightarrow 1=\frac{4t}{3(t+1)^2}+\frac{32t}{7(t-1)^2}$

 $\Rightarrow 21(t^2-1)^2=28t(t-1)^2+32t(t+1)^2\Leftrightarrow 21t^4-124t^3-178t^2-124t+21=0$

 $\Leftrightarrow 21\left (t^2+\frac{1}{t^2}\right )-124\left ( t+\frac{1}{t} \right )-178=0$

 Đặt $m=t+\frac{1}{t}$ với $|m|\geq 2$ ta có :

 $21(m^2-2)-124m-178=0\Leftrightarrow 21m^2-124m-220=0$

 $\Leftrightarrow (3m-22)(7m+10)=0\Rightarrow m=\frac{22}{3}$ ( Do $\left | \frac{-10}{7} \right |<2$ )

Thay vào giải $t$ rồi thế lại vào hệ là ra

 



#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 23-09-2015 - 14:38

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quảng Bình ngày 2:

Bài 1: Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a,b,c\in[-1;1]$ và $abc$ khác 0 thỏa mãn $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

Tìm giá trị lớn nhất của $T=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Bài 2: Trên một đường tròn cho 2015 điểm phân biệt. Cứ qua 2 điểm ta kẻ một dây cung và tô nó bằng một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Một tam giác (có 3 cạnh là các dây cung nói trên) gọi là "tam giác đẹp" nếu 3 cạnh của nó được tô cùng một màu. Chứng minh rằng với mọi cách tô màu, tồn tại ít nhất 40 "tam giác đẹp" cùng màu.

 

Bài 3: Cho tam giác ABC (với AB<AC). Đường tròn (O) tiếp xúc với các tia AB,AC lần lượt tại M, N và tiếp xúc ngoài với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam giác ABC thuộc đoạn MN.

 

                                                                                           Hết


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 23-09-2015 - 14:45

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 23-09-2015 - 19:43

Hai bài hình chỉ sử dụng tính chất của đường tròn Mixtilinear


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#6 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 23-09-2015 - 21:00

Bài 2:

a)

dễ dàng chứng minh :$x_{n}>0$

                                   $ x_{n+1}\geq x_{n}$ với mọi n

nên  dãy $x_{n}$ tăng không nghiêm ngặt 

giả sử dãy $x_{n}$ hội tụ thì chuyển qua pt giới hạn ta có:

$L=\frac{L^4+2014L+1}{L^3-L+2016}$

=>L=1(vô lí) do dãy xn tăng mà $x_{1}=2$

=> đpcm

b)ta có:

$\frac{1}{x_{k}^3+2015}=\frac{1}{x_{k}-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}$

=>$y_{n}=\frac{1}{x_{1}-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$

=> limyn=1


tiến tới thành công  :D


#7 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 23-09-2015 - 22:56

Đề chọn đội tuyển HSG Quảng Bình 2015-2016 ngày 1

 

 Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

   i) $f(x)+x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$

   ii) $f(f(x)+x)=6x$

   iii) $f(1)=2$

           ---------------------------------------------------------------------------------

          

Đặt $g(x)=f(x)+x$

Ta thấy:  i, f liên tục nên g liên tục

              ii, g toàn ánh

Ta có: $f(f(x)+x)=6x$

          $f(f(x)+x)+f(x)+x=(f(x)+x)+6x$

          $g(f(x)+x)=g(x)+6x$ hay $g(g(x))=g(x)+6x$ 

Chuyển bài toán về tìm hàm $g(x)$ liên tục, toàn ánh thỏa mãn $g(g(x))=g(x)+6x$ và g(1)=3

Dễ thấy g đơn ánh +liên tục nên g đơn điệu.

Ta tính đc $f(2)=6$ nên $g(2)=8>g(1)$ nên g tăng thực sự.

Đến đây làm tương tự bài $f(f(x))=f(x)+2x$ là xong  :D  :D 

(Chuyên khảo Phương Trình Hàm trang 391)  :D  :D 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 23-09-2015 - 23:15

                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#8 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 23-09-2015 - 23:11

Bài 2: Trên một đường tròn cho 2015 điểm phân biệt. Cứ qua 2 điểm ta kẻ một dây cung và tô nó bằng một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Một tam giác (có 3 cạnh là các dây cung nói trên) gọi là "tam giác đẹp" nếu 3 cạnh của nó được tô cùng một màu. Chứng minh rằng với mọi cách tô màu, tồn tại ít nhất 40 "tam giác đẹp" cùng màu.

Ta sẽ chứng minh với $17$ điểm phân biệt trên đường tròn, sau khi nối các cạnh với nhau bằng $3$ màu trên thì sẽ có ít nhất một tam giác có các cạnh cùng màu. Thật vậy:

Lấy một điểm M bất kì từ $17$ điểm trên, từ M có $16$ đoạn thẳng tô bằng $3$ màu nên có ít nhất $6$ đoạn thẳng cùng màu (theo nguyên lý Dirichlet). Giả sử $6$ đoạn thẳng đó đều là màu xanh.

Từ $6$ điểm trên $6$ đoạn đó (khác điểm M), nếu có $2$ điểm nối với nhau bằng màu xanh thì bài toán trên được chứng minh còn nếu không thì được nối với nhau bằng $2$ màu còn lại là đỏ hoặc vàng.

Trong trường hợp đó thì bài toán trên vẫn được chứng minh. Thật vậy:

Ta chọn ra một điểm A từ $6$ điểm đó, nối $5$ đoạn thẳng với $5$ đỉnh còn lại và được tô bằng $2$ màu đỏ, vàng bất kì.

Như vậy có ít nhất $3$ cạnh cùng màu (theo nguyên lý Dirichlet), giả sử là màu đỏ.

Xét $3$ cạnh cùng màu đó, nếu một trong các cạnh nối $3$ điểm trên $3$ cạnh đó (khác điểm A) được tô bởi màu đỏ thì bài toán được chứng minh. Ngược lại: Nếu cả $3$ cạnh nối $3$ điểm đó đều tô bằng màu vàng thì ta cũng tạo ra được một tam giác có $3$ cạnh là màu vàng.

Vậy bài toán trên được chứng minh.

Có $2015$ điểm phân biệt, nghĩa là có $118$ tam giác được tô bằng $3$ cạnh cùng màu, như vậy theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ tồn tại $40$ "tam giác đẹp" được tô bằng một màu.

Bài toán được chứng minh :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 23-09-2015 - 23:36

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#9 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 27-09-2015 - 16:26

Đặt $g(x)=f(x)+x$

Ta thấy:  i, f liên tục nên g liên tục

              ii, g toàn ánh

Ta có: $f(f(x)+x)=6x$

          $f(f(x)+x)+f(x)+x=(f(x)+x)+6x$

          $g(f(x)+x)=g(x)+6x$ hay $g(g(x))=g(x)+6x$ 

Chuyển bài toán về tìm hàm $g(x)$ liên tục, toàn ánh thỏa mãn $g(g(x))=g(x)+6x$ và g(1)=3

Dễ thấy g đơn ánh +liên tục nên g đơn điệu.

Ta tính đc $f(2)=6$ nên $g(2)=8>g(1)$ nên g tăng thực sự.

Đến đây làm tương tự bài $f(f(x))=f(x)+2x$ là xong  :D  :D 

(Chuyên khảo Phương Trình Hàm trang 391)  :D  :D 

bạn nói rõ hơn được không?

mà chuyên khảo phương trình hàm là quyển gì thế? Bạn có link tải không?

cho mình cảm ơn trước



#10 kaneki hung

kaneki hung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 25-03-2016 - 17:32

Đề chọn đội tuyển HSG Quảng Bình 2015-2016 ngày 1

 

 Bài 1 : Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

 Bài 2 : Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_1=2\\ x_{n+1}=\displaystyle{\frac{x_n^4+2014x_n+1}{x_n^3-x_n+2016}} \end{matrix}\right.$

  a) Chứng minh $\lim x_n=+\infty $

  b) Với $\forall~n\in \mathbb{N^*}$, đặt $y_n=\sum _{k=1}^n \frac{1}{x_k^3+2015}$, tìm $\lim y_n$

 Bài 3 : Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC$ nội tiếp trong đường tròn $(\omega )$ tâm O bán kính R, đường tròn $(\omega_1)$ tâm $I_A$ bán kính $R_A$ tiếp xúc với đường tròn $(\omega )$ tại T và với cạnh AB, AC tại E,F. Phân giác $\widehat{BAC}$ cắt $(\omega )$ tại $M\neq A$, BC cắt EF ở X.

   a) Tính $\frac{CF}{CT}$ theo $R$ và $R_A$

   b) Chứng minh $\overline{M,X,T}$

 Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

   i) $f(x)+x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$

   ii) $f(f(x)+x)=6x$

   iii) $f(1)=2$

           ---------------------------------------------------------------------------------

                 Không sử dụng máy tính cầm tay 

Chế kiếm đề đâu ra vậy


4a88fd271d8342b2b19000aaa5847fc9.1.gif


#11 congdan9aqxk

congdan9aqxk

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 215 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:QHH

Đã gửi 28-03-2016 - 00:54

Đề chọn đội tuyển HSG Quảng Bình 2015-2016 ngày 1

 

 Bài 1 : Giải hệ : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

 

Hệ tương đương với :

$\left\{\begin{matrix} \frac{4}{3x}=(1+\frac{1}{x+y})^{2} & \\ \frac{32}{7y}=(1-\frac{1}{x+y})^{2} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}=\frac{1}{x+y}\Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{y}{3x}-\frac{8x}{7y}-\frac{8}{7}=1$ (*)

Đặt $\frac{x}{y}=k$ (Do x;y >0 nên k >0 ). (*) tương đương với :

$\frac{8}{7}k-\frac{1}{3k}+\frac{38}{21}=0\Leftrightarrow k=\frac{1}{6}$ (Vì k >0 )

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{6}\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{6}}$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}\left (1+\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=2\\ \sqrt{7y}\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x+y}}\right )=4\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3x}}+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}=2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}=1$

Từ đây ta tính được x và y






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh