Chủ đề này có 1 trả lời

[QDV]

$\sum_{i=0}^{n} {}(C_{n}^{i})^{2} = C_{2n}^{n}$

[ttlinhtinh]

$\sum_{i=0}^{n} {}(C_{n}^{i})^{2} = C_{2n}^{n}$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

$(1+x)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+...+C_{n}^{n}x^n$

Khi đó, hệ số của $x^{n}$ trong biểu thức: $(1+x)^{n}(1+x)^{n}$ sẽ là:

$C_{n}^{0}C_{n}^{n}+C_{n}^{1}C_{n}^{0}+...+C_{n}^{n-1}C_{n}^{1}+C_{n}^{0}C_{n}^{n}=(C_{n}^{0})^2+(C_{n}^{1})^2+...+(C_{n}^{n})^2=\sum_{i=0}^{n}(C_{n}^{i})^2$ (1)
Mặt khác, theo khai triển nhị thức Newton, lại có:

$(1+x)^{2n}=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}x+...+C_{2n}^{n}x^n+...+C_{2n}^{2n}x^{2n}$

Suy ra hệ số của $x^{n}$ trong biểu thức: $(1+x)^{2n}$ sẽ là $C_{2n}^{n}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.