Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển HSGQG Đà Nẵng 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The state of fun
  • Sở thích:—ナルト— Naruto Shippuden

Đã gửi 24-09-2015 - 16:35

                                                                   Đề chính thức vòng 1

Bài 1:(5 điểm)

Giả sử $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{2015}$ là 2015 số thực thuộc đoạn $[-1,1]$ mà $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^{3}=0$

     1) Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}< 672$

 

     2) Tìm giá trị lớn nhất của $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}$

 

Bài 2:(5 điểm)

Giả sử $a_{1},a_{2},a_{3}...a_{2016}$ là 1 dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện: $a_{m}+a_{n}\leq a_{m+n}\leq a_{m}+a_{n}+1$ với mọi cặp số nguyên dương m,n mà $m+n\leq 2016$.

     Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho $a_{n}=[nx]$ với mỗi  $n\in \left \{ 1,2,..,2016 \right \}$

 

Bài 3:(5 điểm) 

Cho tam giác nhọn, không cân $\Delta ABC$ nội tiếp đtròn (O). Đường phân giác góc A của tam giác cắt cạnh BC tại D và cắt lại đtròn (O) tại E.Gọi K là điểm nằm trong mặt phẳng chứa $\Delta ABC$, thỏa mãn các điều kiện KB=KC và $\widehat{BKC}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$. Giả sử K nằm trong $\Delta ABC$

     1) Chứng minh rằng bốn điểm A,O,K,D cùng thuộc 1 đường tròn, kí hiệu là (P).

 

     2) Gọi L là giao điểm thứ 2 của (P) và (O). Chứng minh $\widehat{LAB}=\widehat{KAC}$

 

     3) Gọi G là giao điểm của AL và BC; I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$; M là trung điểm của đoạn GI, N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng EM và đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng NI, AK cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O).

 

Bài 4:(5 điểm)

Có một số bi màu  xanh, một số bi màu đỏ, một số bi màu trắng được đặt sẵn trong một cái hộp. Một người chơi được cung cấp đủ lượng bi thuộc cả 3 loại màu xanh, đỏ , trắng và tại mỗi lượt người chơi sẽ lấy từ hộp ra 2 viên bi rồi thực hiện tiếp trò chơi theo luật như sau:

     -nếu 2 viên bi được lấy ra có màu khác nhau thì người chơi phải bỏ vào hộp 1 viên bi khác màu với 2 viên đó(cụ thể: nếu đã lấy ra 1 bi xanh, 1 bi đỏ thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi trắng, nếu đã lấy ra 1 bi đỏ, 1 bi trắng thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi xanh, nếu đã lấy ra 1 bi trắng, 1 bi xanh thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi đỏ)

 

    -nếu 2 viên bi được lấy ra cùng màu với nhau thì người chơi ko phải  bỏ lại vào hộp viên bi nào cả.

  

Và cứ như thế cuộc chơi chỉ dừng lại khi trong hộp hết bi hoặc chỉ còn 1 viên bi.

 

Chứng minh rằng kết quả cuối cùng của cuộc chơi ko phụ thuộc vào cách lấy bi của người chơi( cho dù người chơi được phép nhìn vào hộp).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 24-09-2015 - 16:37


#2 huypham2811

huypham2811

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The state of fun
  • Sở thích:—ナルト— Naruto Shippuden

Đã gửi 24-09-2015 - 23:48

                                                                  Đề chính thức vòng 2

Bài 5:(7 điểm)

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đtròn(O,R) và ngoại tiếp đtròn (I.r), $O\neq I$. Một đtròn $\omega$ đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng OI tại I. Đường thẳng AO cắt đtròn $\omega$ tại G. Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt lại đtròn $\omega$ tại K. Gọi L là điểm đối xứng với K qua A.

       1) Chứng minh rằng AG=2r.

 

       2) Giả sử 2 điểm B,C cố định. Khi A di chuyển trên đtròn (O), chứng minh rằng LI luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 6:(7 điểm)

Cho P(t) là 1 đa thức với hệ số thực (của một biến số t) thảo P(1)=P(-1). Chứng minh rằng có một đa thức Q(x,y) với hệ số thưcj(của 2 biến số x,y) sao cho P(t)=Q(t2 -1,t(t2 -1)) với mọi giá trị của t.

 

Bài 7:(6 điểm)

Cho số tự nhiên n>2 và tập S gồm n điểm nằm trên một đtròn. Tìm số lớn nhất có thể có các tam giác nhọn mà cả 3 đỉnh đều thuộc S.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 24-09-2015 - 23:49


#3 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 25-09-2015 - 20:10

a)ta có:

$8x_{i}^3\geq 6x_{i}-2$ với $x_{i}^3\in[-1;1]$

$\Leftrightarrow 8\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^3\geq \sum 6x_{i}-2.2015$

=> đpcm


tiến tới thành công  :D


#4 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 28-09-2015 - 00:03

Xin giải câu hình ngày 2.

Hình gửi kèm

  • 12043084_528728807274990_5303348215408868994_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 28-09-2015 - 00:03


#5 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 28-09-2015 - 21:18

CẦu hình ngày 1.

a, không thể để ta có K đối xứng với E qua BC.
Khi đó $ \widehat{OAD}=\widehat{OED}=\widehat{OKD} $ nên tứ giác $ AKOD $ nội tiếp.
b, Ta cần chứng minh $ DL=DE $.

Thật vậy, gọi $ X $ là giao điểm của $ EL $ với $ (P) $ khi đó ta có:

$ EL.EX=ED.EA=EB^2 $ nên ta có:
$ \widehat{LXB}=\widehat{LBE}=\widehat{LAE}=\widehat{DXL} $, suy ra $ X,B,D $ thẳng hàng, hay $ X $ nằm trên $ BC $.
Từ đây ta có:
$ \widehat{KLE}=\widehat{XAK}=\widehat{DKC}=\frac{\widehat{DKE}}{2} $. Kết hợp $ DK=DE $ ta có $ D $ là tâm của $ (KLE) $ hay ta có điều phải chứng minh.
c, Gọi $ R,S $ lần lượt là giao điểm của $ EN $ với $ AL,BC. $
Ta cần chứng minh:
$ \widehat{ENI}=\widehat{DAK} $ hay $ \widehat{ENI}=\widehat{IAR} $.
Thật vậy, theo tính chất quen theo ta có:
$ \widehat{ENI}=\widehat{EIS} $
Do đó ta chỉ cần chứng minh $ IS||AL $ tương đương với $ IR||GS $
Thật vật theo Menelaus cho tam giác $ AGI $ cát tuyến $ R,M,E $ ta có:
$ \frac{RA}{RG}=\frac{EA}{EI}=\frac{IA}{ID} $, hay $ IR||GD $, điều phải chứng minh.

Hình gửi kèm

  • ScreenHunter_43 Sep. 28 21.03.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 28-09-2015 - 21:19


#6 superfrankie98

superfrankie98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 07-10-2015 - 14:45

Xin giải câu hình ngày 2.

bạn giải cụ thể câu b cho mình đc ko






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh