Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=3 và $a\geq b\geq c$.Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 01-10-2015 - 13:05
$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$
Bắt đầu bởi hthang0030, 01-10-2015 - 12:43
#2
Đã gửi 16-04-2021 - 21:12
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta luôn có: $(b-1)^2(b+2)\geqslant 0\Leftrightarrow 3b-b^3\leqslant 2$
Quy đồng rồi rút gọn bất đẳng thức cần chứng minh, ta được: $ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2)\leqslant 8+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 2+abc$
Vì $a\geqslant b\geqslant c$ nên $a(b-a)(b-c)\leqslant 0\Leftrightarrow ab^2+ca^2\leqslant a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a^2b+bc^2+abc=b(a^2+b^2+c^2)-b^3+abc=3b-b^3+abc\leqslant 2+abc$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
