Chủ đề này có 1 trả lời

[uahnbu29main]

Cho $P(x)\in Z[x]$ có bậc $> 1$, $a,b\in \mathbb{N} $ thoả $(a,b)=1$. Chứng minh $P(a+b)\vdots ab \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}P(a)\vdots b\\P(b)\vdots a\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uahnbu29main: 10-10-2015 - 18:06

[Ego]

Gọi hệ số tự do của $P$ là $L$. Để ý đẳng thức $P(a + b) \equiv P(a) + P(b) - L \pmod{ab}$
Thuận: Từ đẳng thức trên ta có $P(a) + P(b) - L \vdots ab$. Từ đó có $P(a) \vdots b$ và $P(b) \vdots a$.
Đảo: Dễ thấy $P(a) + P(b) - L \vdots a$ và $P(a) + P(b) - L \vdots b$. Do $\text{gcd}(a; b) = 1$ nên $P(a) + P(b) - L \vdots \text{lcm}(a; b) = ab$. Từ đẳng thức trên ta có ngay điều phải chứng minh.