Đến nội dung

Hình ảnh

$g \otimes 1: N_1\otimes _B (B \otimes _A M) \to N_2\otimes _B(B \otimes _A M)$

tensor flat extension of scalars

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Nều $f:A \to B$ là một đồng cấu vành và M là một $A-module$ phẳng (flat) thì $B \otimes _A M$ là một $B-module$ phẳng. Theo như chỉ dẫn trong sách Atiyah-Mcdonald, mình hiểu thế này: ta chứng minh theo hướng một module phẳng nếu và chỉ nếu $g \otimes  1: N_1\otimes _B (B \otimes _A M) \to N_2\otimes_B(B \otimes_A M)$ là đơn cấu cho mọi đơn cấu $g:N_1\to N_2$. Ta có lẽ sử dụng đẳng cấu sau $N_1\otimes_B (B \otimes_A M) \cong (N_1\otimes_B B )\otimes_A M$, như vậy ta có thể sử dụng sự kiện $M$ là phẳng, nhưng ta lại cần chỉ ra đồng cấu này là $B-module$ đơn cấu, làm sao ta có thể suy ra sự kiện này từ $M$ là $A-moudule$ phẳng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 10-10-2015 - 10:44


#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Ta có với mọi $N$ là $B$-module, thì $N$ cũng sẽ là $A$-module (vì cấu trúc $A$ module được cho bởi $f(A) \subset B$). Và ta cũng có, $N \otimes_B B \cong N$ là isomorphism của $B$ module, nên đồng thời là isomorphism của $A$ module. Vì vậy, với mọi đơn cấu của $B$-module, $g: N_1 \rightarrow N_2$, ta cũng có đây là đơn cấu của $A$ module, và $N_1 \otimes_B (B \otimes_A M) \cong (N_1 \otimes_B B) \otimes_A M \cong N_1 \otimes_A M \hookrightarrow N_2 \otimes_A M \cong \dots \cong N_2 \otimes_B (B \otimes_A M)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 10-10-2015 - 21:49

  • Nxb yêu thích

#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Ta có với mọi $N$ là $B$-module, thì $N$ cũng sẽ là $A$-module (vì cấu trúc $A$ module được cho bởi $f(A) \subset B$). Và ta cũng có, $N \otimes_B B \cong N$ là isomorphism của $B$ module, nên đồng thời là isomorphism của $A$ module. Vì vậy, với mọi đơn cấu của $B$-module, $g: N_1 \rightarrow N_2$, ta cũng có đây là đơn cấu của $A$ module, và $N_1 \otimes_B (B \otimes_A M) \cong (N_1 \otimes_B B) \otimes_A M \cong N_1 \otimes_A M \hookrightarrow N_2 \otimes_A M \cong \dots \cong N_2 \otimes_B (B \otimes_A M)$.

Cái khó mà mình muốn đề cập tới là hiểu thế nào cho đúng mà thôi, còn cách làm là khá rõ ràng. Theo mình nghĩ điểm cần lưu ý là dù đồng cấu trên vành nào thì tính đơn cấu, toàn cấu,vv... cũng không phụ thuộc vào cấu trúc mà nó bảo toàn. 



#4
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cái khó mà mình muốn đề cập tới là hiểu thế nào cho đúng mà thôi, còn cách làm là khá rõ ràng. Theo mình nghĩ điểm cần lưu ý là dù đồng cấu trên vành nào thì tính đơn cấu, toàn cấu,vv... cũng không phụ thuộc vào cấu trúc mà nó bảo toàn. 

 

bạn đúng rồi, có lẽ bạn đã tìm ra lời giải thích, nhưng để mình ghi ra luôn. Đơn giản vì module homomorphism là group homomorphism trước (cộng thêm scalar multiplication over the ring sau), và đơn cấu/toàn cấu... đều được xác định bởi phần tử của module đó (1 abelian group), chứ không cần quan tâm đến cái vành scalar kia.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 11-10-2015 - 21:59






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tensor, flat, extension of scalars

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh